Exercicis de vectors

El criteri de perpendicularitat és sempre el mateix: producte escalar igual a zero.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(-2) + (4)(-3) + (1)k = 0$

$= -2 - 12 + k = -14 + k = 0$

Aïllem $k$:

$k = \frac{14}{1} = 14$

El producte vectorial es calcula amb aquest determinant:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix}$

Component a component (i vigila el signe menys de la segona, que és l'error típic):

• Primera: $2 \cdot 4 - (-1) \cdot 2 = 10$
• Segona: $-\left(1 \cdot 4 - (-1) \cdot 1\right) = -5$
• Tercera: $1 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 0$

$\vec{u} \times \vec{v} = (10, -5, 0)$

La tercera component és $0$.

Comprovació: aquest vector ha de ser perpendicular als dos de partida. Si en fas el producte escalar amb $\vec{u}$ ha de donar zero.

El producte escalar es fa component a component i el resultat és un número, no un vector. Aquesta és la primera cosa a tenir clara.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

$= (-3)(4) + (1)(-1) + (-2)(4)$

$= -12 - 1 - 8 = -21$

Si hagués donat zero, els vectors serien perpendiculars.

El mòdul és la llargada del vector, i es calcula amb Pitàgores estès a tres dimensions:

$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$

$= \sqrt{(-2)^2 + (1)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9}$

$|\vec{u}| = 3$

Els quadrats fan que els signes negatius desapareguin: el mòdul mai és negatiu.

El criteri de perpendicularitat és sempre el mateix: producte escalar igual a zero.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (-3)(4) + (2)(-1) + (-3)k = 0$

$= -12 - 2 - 3k = -14 - 3k = 0$

Aïllem $k$:

$k = \frac{14}{-3} = - \frac{14}{3} \approx -4.6667$

El producte vectorial es calcula amb aquest determinant:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -3 & 4 \\ -2 & -3 & 3 \end{vmatrix}$

Component a component (i vigila el signe menys de la segona, que és l'error típic):

• Primera: $-3 \cdot 3 - 4 \cdot (-3) = 3$
• Segona: $-\left(1 \cdot 3 - 4 \cdot (-2)\right) = -11$
• Tercera: $1 \cdot (-3) - (-3) \cdot (-2) = -9$

$\vec{u} \times \vec{v} = (3, -11, -9)$

La primera component és $3$.

Comprovació: aquest vector ha de ser perpendicular als dos de partida. Si en fas el producte escalar amb $\vec{u}$ ha de donar zero.

El producte escalar es fa component a component i el resultat és un número, no un vector. Aquesta és la primera cosa a tenir clara.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

$= (4)(2) + (4)(2) + (1)(1)$

$= 8 + 8 + 1 = 17$

Si hagués donat zero, els vectors serien perpendiculars.

El mòdul és la llargada del vector, i es calcula amb Pitàgores estès a tres dimensions:

$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$

$= \sqrt{(2)^2 + (-2)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12}$

$|\vec{u}| = 2 \sqrt{3} \approx 3.4641$

Els quadrats fan que els signes negatius desapareguin: el mòdul mai és negatiu.

El criteri de perpendicularitat és sempre el mateix: producte escalar igual a zero.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(-1) + (1)(3) + (-2)k = 0$

$= -2 + 3 - 2k = 1 - 2k = 0$

Aïllem $k$:

$k = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} \approx 0.5000$

El producte vectorial es calcula amb aquest determinant:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & 1 & -1 \\ -3 & 2 & 2 \end{vmatrix}$

Component a component (i vigila el signe menys de la segona, que és l'error típic):

• Primera: $1 \cdot 2 - (-1) \cdot 2 = 4$
• Segona: $-\left(-3 \cdot 2 - (-1) \cdot (-3)\right) = 9$
• Tercera: $-3 \cdot 2 - 1 \cdot (-3) = -3$

$\vec{u} \times \vec{v} = (4, 9, -3)$

La segona component és $9$.

Comprovació: aquest vector ha de ser perpendicular als dos de partida. Si en fas el producte escalar amb $\vec{u}$ ha de donar zero.