Exercicis de vectors

El criteri de perpendicularitat és sempre el mateix: producte escalar igual a zero.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(3) + (3)(4) + (1)k = 0$

$= 6 + 12 + k = 18 + k = 0$

Aïllem $k$:

$k = \frac{-18}{1} = -18$

El producte vectorial es calcula amb aquest determinant:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & -1 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \end{vmatrix}$

Component a component (i vigila el signe menys de la segona, que és l'error típic):

• Primera: $-1 \cdot 1 - 1 \cdot 3 = -4$
• Segona: $-\left(-2 \cdot 1 - 1 \cdot (-2)\right) = 0$
• Tercera: $-2 \cdot 3 - (-1) \cdot (-2) = -8$

$\vec{u} \times \vec{v} = (-4, 0, -8)$

La segona component és $0$.

Comprovació: aquest vector ha de ser perpendicular als dos de partida. Si en fas el producte escalar amb $\vec{u}$ ha de donar zero.

El producte escalar es fa component a component i el resultat és un número, no un vector. Aquesta és la primera cosa a tenir clara.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

$= (4)(-3) + (1)(-2) + (-3)(-1)$

$= -12 - 2 + 3 = -11$

Si hagués donat zero, els vectors serien perpendiculars.

El mòdul és la llargada del vector, i es calcula amb Pitàgores estès a tres dimensions:

$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$

$= \sqrt{(4)^2 + (3)^2 + (3)^2} = \sqrt{16 + 9 + 9} = \sqrt{34}$

$|\vec{u}| = \sqrt{34} \approx 5.8310$

Els quadrats fan que els signes negatius desapareguin: el mòdul mai és negatiu.

El criteri de perpendicularitat és sempre el mateix: producte escalar igual a zero.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (4)(1) + (-3)(-3) + (-2)k = 0$

$= 4 + 9 - 2k = 13 - 2k = 0$

Aïllem $k$:

$k = \frac{-13}{-2} = \frac{13}{2} \approx 6.5000$

El producte vectorial es calcula amb aquest determinant:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & -1 & -3 \end{vmatrix}$

Component a component (i vigila el signe menys de la segona, que és l'error típic):

• Primera: $-2 \cdot (-3) - 1 \cdot (-1) = 7$
• Segona: $-\left(1 \cdot (-3) - 1 \cdot 2\right) = 5$
• Tercera: $1 \cdot (-1) - (-2) \cdot 2 = 3$

$\vec{u} \times \vec{v} = (7, 5, 3)$

La tercera component és $3$.

Comprovació: aquest vector ha de ser perpendicular als dos de partida. Si en fas el producte escalar amb $\vec{u}$ ha de donar zero.

El producte escalar es fa component a component i el resultat és un número, no un vector. Aquesta és la primera cosa a tenir clara.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

$= (2)(2) + (2)(4) + (-3)(-2)$

$= 4 + 8 + 6 = 18$

Si hagués donat zero, els vectors serien perpendiculars.

El mòdul és la llargada del vector, i es calcula amb Pitàgores estès a tres dimensions:

$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$

$= \sqrt{(3)^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 9 + 4} = \sqrt{22}$

$|\vec{u}| = \sqrt{22} \approx 4.6904$

Els quadrats fan que els signes negatius desapareguin: el mòdul mai és negatiu.

El criteri de perpendicularitat és sempre el mateix: producte escalar igual a zero.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (-1)(2) + (-2)(2) + (3)k = 0$

$= -2 - 4 + 3k = -6 + 3k = 0$

Aïllem $k$:

$k = \frac{6}{3} = 2$

El producte vectorial es calcula amb aquest determinant:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 3 & -3 \\ -3 & -1 & -1 \end{vmatrix}$

Component a component (i vigila el signe menys de la segona, que és l'error típic):

• Primera: $3 \cdot (-1) - (-3) \cdot (-1) = -6$
• Segona: $-\left(-2 \cdot (-1) - (-3) \cdot (-3)\right) = 7$
• Tercera: $-2 \cdot (-1) - 3 \cdot (-3) = 11$

$\vec{u} \times \vec{v} = (-6, 7, 11)$

La primera component és $-6$.

Comprovació: aquest vector ha de ser perpendicular als dos de partida. Si en fas el producte escalar amb $\vec{u}$ ha de donar zero.