Exercicis de vectors

El producte escalar es fa component a component i el resultat és un número, no un vector. Aquesta és la primera cosa a tenir clara.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

$= (-2)(3) + (-2)(3) + (1)(-2)$

$= -6 - 6 - 2 = -14$

Si hagués donat zero, els vectors serien perpendiculars.

El mòdul és la llargada del vector, i es calcula amb Pitàgores estès a tres dimensions:

$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$

$= \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (3)^2} = \sqrt{4 + 4 + 9} = \sqrt{17}$

$|\vec{u}| = \sqrt{17} \approx 4.1231$

Els quadrats fan que els signes negatius desapareguin: el mòdul mai és negatiu.

El criteri de perpendicularitat és sempre el mateix: producte escalar igual a zero.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (4)(4) + (1)(2) + (3)k = 0$

$= 16 + 2 + 3k = 18 + 3k = 0$

Aïllem $k$:

$k = \frac{-18}{3} = -6$

El producte vectorial es calcula amb aquest determinant:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & -3 & -1 \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix}$

Component a component (i vigila el signe menys de la segona, que és l'error típic):

• Primera: $-3 \cdot (-3) - (-1) \cdot 1 = 10$
• Segona: $-\left(-3 \cdot (-3) - (-1) \cdot 2\right) = -11$
• Tercera: $-3 \cdot 1 - (-3) \cdot 2 = 3$

$\vec{u} \times \vec{v} = (10, -11, 3)$

La tercera component és $3$.

Comprovació: aquest vector ha de ser perpendicular als dos de partida. Si en fas el producte escalar amb $\vec{u}$ ha de donar zero.

El producte escalar es fa component a component i el resultat és un número, no un vector. Aquesta és la primera cosa a tenir clara.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

$= (1)(-1) + (1)(4) + (2)(-2)$

$= -1 + 4 - 4 = -1$

Si hagués donat zero, els vectors serien perpendiculars.

El mòdul és la llargada del vector, i es calcula amb Pitàgores estès a tres dimensions:

$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$

$= \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9}$

$|\vec{u}| = 3$

Els quadrats fan que els signes negatius desapareguin: el mòdul mai és negatiu.

El criteri de perpendicularitat és sempre el mateix: producte escalar igual a zero.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(2) + (2)(4) + (2)k = 0$

$= 4 + 8 + 2k = 12 + 2k = 0$

Aïllem $k$:

$k = \frac{-12}{2} = -6$

El producte vectorial es calcula amb aquest determinant:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 2 & 3 \\ -2 & 4 & 3 \end{vmatrix}$

Component a component (i vigila el signe menys de la segona, que és l'error típic):

• Primera: $2 \cdot 3 - 3 \cdot 4 = -6$
• Segona: $-\left(-1 \cdot 3 - 3 \cdot (-2)\right) = -3$
• Tercera: $-1 \cdot 4 - 2 \cdot (-2) = 0$

$\vec{u} \times \vec{v} = (-6, -3, 0)$

La primera component és $-6$.

Comprovació: aquest vector ha de ser perpendicular als dos de partida. Si en fas el producte escalar amb $\vec{u}$ ha de donar zero.

El producte escalar es fa component a component i el resultat és un número, no un vector. Aquesta és la primera cosa a tenir clara.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

$= (2)(3) + (-2)(2) + (1)(3)$

$= 6 - 4 + 3 = 5$

Si hagués donat zero, els vectors serien perpendiculars.

El mòdul és la llargada del vector, i es calcula amb Pitàgores estès a tres dimensions:

$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$

$= \sqrt{(-3)^2 + (3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27}$

$|\vec{u}| = 3 \sqrt{3} \approx 5.1962$

Els quadrats fan que els signes negatius desapareguin: el mòdul mai és negatiu.