Semblança i Tales: mesurar el que no es pot mesurar

La semblança és el que permet calcular l'altura d'un edifici amb un pal i una cinta mètrica. La idea és que dues figures amb la mateixa forma tenen les longituds proporcionals, i això converteix una mesura impossible en una regla de tres.

El que has de dominar abans: proporcionalitat, angles i Pitàgores.

Què vol dir semblant

Dues figures són semblants si:

• els angles corresponents són iguals;
• les longituds corresponents són proporcionals.

La constant de proporcionalitat es diu raó de semblança $k$, i el seu efecte sobre les magnituds és el de sempre:

$$\text{longituds i perímetres} \times |k|, \qquad \text{àrees} \times k^{2}, \qquad \text{volums} \times |k|^{3}.$$

Aquesta és la mateixa regla de les escales i de les conversions d'unitats, i ara pots veure d'on surt: una àrea és un producte de dues longituds.

Els criteris per a triangles

Amb triangles no cal comprovar-ho tot: n'hi ha prou amb un dels tres criteris.

Dos angles iguals. Si dos triangles tenen dos angles corresponents iguals, són semblants. (El tercer també ho serà, perquè la suma és $180^{\circ}$.) És el criteri més útil de tots.

Tres costats proporcionals.

Dos costats proporcionals i l'angle comprès igual.

Tales i la recta paral·lela

Si una recta paral·lela a un costat d'un triangle talla els altres dos, forma un triangle semblant al gran.

Per què. Comparteixen l'angle del vèrtex, i els angles de la paral·lela són corresponents amb els del costat original, de manera que també són iguals. Dos angles iguals: semblança pel primer criteri.

Aquesta configuració és una aplicació del teorema de Tales, i és la que apareix a la major part dels exercicis.

Mesura indirecta: la justificació és part de la resposta

Per mesurar una altura amb ombres, cal justificar que els triangles són semblants. I es justifica així:

• les ombres es prenen al mateix moment, de manera que l'angle del sol és el mateix;
• els objectes són verticals i el terreny horitzontal, de manera que tots dos triangles tenen un angle recte.

Dos angles iguals: els triangles són semblants. Sense aquestes condicions, el mètode no val, i dir-ho forma part de la solució.

Exercici resolt: un triangle semblant de raó donada

Un triangle té costats $3$, $4$ i $5$ cm. Quins són els costats d'un triangle semblant de raó $2{,}5$?

Multiplica cada costat per la raó.

$$3\cdot 2{,}5 = 7{,}5, \qquad 4\cdot 2{,}5 = 10, \qquad 5\cdot 2{,}5 = 12{,}5.$$

Els costats són $7{,}5$, $10$ i $12{,}5$ cm.

Comprovació que continua sent rectangle. El triangle original era rectangle ($3^{2}+4^{2}=5^{2}$). El nou:

$$7{,}5^{2} + 10^{2} = 56{,}25 + 100 = 156{,}25 = 12{,}5^{2} \quad\checkmark$$

Continua sent rectangle, com havia de ser: la semblança conserva els angles.

Els efectes sobre les altres magnituds. El perímetre passa de $12$ a $30$ cm, que és $12 \cdot 2{,}5$ ✓ I l'àrea passa de $\frac{3\cdot 4}{2} = 6$ a $\frac{7{,}5\cdot 10}{2} = 37{,}5$ cm², que és $6 \cdot 2{,}5^{2} = 6\cdot 6{,}25$ ✓

El que mostra aquesta comprovació. Que la raó de semblança actua amb exponent $1$ sobre les longituds i amb exponent $2$ sobre les àrees. És la regla que has vist amb les escales, aquí verificada amb números concrets.

Exercici resolt: ampliar una fotografia

Una fotografia de $10 \times 15$ cm s'amplia fins que el costat llarg fa $24$ cm. Quant fa el curt?

Troba la raó de semblança amb els costats corresponents, que són els dos llargs:

$$k = \frac{24}{15} = 1{,}6.$$

Aplica-la al costat curt.

$$10\cdot 1{,}6 = 16 \ \text{cm}.$$

La fotografia ampliada fa $16 \times 24$ cm.

Comprovació de la proporció. Les dues fotografies han de tenir la mateixa forma:

$$\frac{10}{15} = \frac{2}{3}, \qquad \frac{16}{24} = \frac{2}{3} \quad\checkmark$$

L'error que cal evitar. Sumar la diferència en comptes de multiplicar per la raó: el costat llarg ha crescut $9$ cm, i afegir $9$ al curt donaria $19$ cm. El resultat seria una foto de $19 \times 24$, que no té la mateixa forma que l'original i quedaria deformada.

Com es nota la diferència. $\frac{19}{24} = 0{,}79$, mentre que l'original era $\frac{10}{15} = 0{,}67$. La foto hauria quedat visiblement més quadrada. Aquesta és exactament la raó per la qual les ampliacions es fan multiplicant, i per què els formats de paper estàndard mantenen sempre la mateixa proporció.

I l'àrea, de passada. Es multiplica per $1{,}6^{2} = 2{,}56$: de $150$ cm² passa a $384$ cm². Doblar aproximadament els costats fa més que doblar el paper necessari, cosa que explica per què les ampliacions són proporcionalment més cares.

On ho faràs servir

La semblança és el fonament de les escales, dels plànols i de les maquetes, i del càlcul indirecte de distàncies i altures que es fa en topografia.

És també la base teòrica de la trigonometria del tema següent: les raons entre costats d'un triangle rectangle depenen només de l'angle, i això és cert precisament perquè tots els triangles rectangles amb el mateix angle agut són semblants.

I el factor $k^{2}$ per a les àrees i $k^{3}$ per als volums reapareix contínuament: en les conversions d'unitats, en les escales i en qualsevol comparació entre objectes de la mateixa forma i mides diferents.