Funcions lineals i afins: pendent, ordenada a l'origen i recta per dos punts

Les funcions afines són el model més utilitzat de tots, perquè descriuen qualsevol situació amb una part fixa i una part proporcional. Si al bloc de proporcionalitat vas entendre la diferència entre un preu per unitat i una quota, aquest tema és la mateixa idea amb gràfica.

El que has de dominar abans: proporcionalitat directa, coordenades i equacions.

Els tres tipus

Constant: $y = b$. La sortida no depèn de l'entrada. La gràfica és una recta horitzontal.

Lineal (proporcionalitat directa): $y = mx$. Passa per l'origen: si l'entrada és zero, la sortida és zero.

Afí: $y = mx + b$. És una lineal desplaçada $b$ unitats amunt o avall. La $b$ és la quota inicial.

Amb aquesta terminologia, tota lineal és afí (amb $b=0$), però no tota afí és lineal.

El pendent

El pendent $m$ és el canvi de sortida per cada unitat d'entrada:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \qquad\text{si } x_2 \neq x_1.$$

El seu signe diu la forma:

• $m > 0$: la recta creix;
• $m < 0$: la recta decreix;
• $m = 0$: la recta és horitzontal.

I les seves unitats diuen el significat. Si $y$ són euros i $x$ hores, el pendent són euros per hora. Si són metres i segons, són metres per segon, és a dir una velocitat. Llegir les unitats del pendent és el que converteix un número en una interpretació.

L'ordenada a l'origen

La $b$ és el valor de la funció quan $x = 0$, i per tant el punt on la recta talla l'eix vertical: $(0, b)$.

En un model de costos és la quota fixa; en un model de moviment, la posició inicial.

La recta per dos punts

1. Calcula el pendent amb la fórmula.
2. Substitueix un dels dos punts a $y = mx + b$ i aïlla $b$.
3. Comprova amb l'altre punt, que no has fet servir.

Aquest tercer pas és el que detecta els errors, i per això convé fer-lo sempre amb el punt que no has utilitzat.

El cas que no és funció

Una recta vertical, de la forma $x = a$, no defineix $y$ com a funció de $x$: a l'entrada $a$ li correspondrien infinites sortides. És el criteri de la recta vertical del tema F01.

Exercici resolt: identificar pendent i ordenada

Identifica $m$ i $b$ a $y = -3x + 5$ i indica si creix.

Comparació amb la forma general $y = mx+b$:

$$m = -3, \qquad b = 5.$$

Creix? El pendent és negatiu, de manera que la funció decreix: cada unitat que avances a la dreta, la recta baixa tres unitats.

Comprovació amb dos valors.

$$y(0) = 5, \qquad y(1) = 2, \qquad y(2) = -1.$$

Efectivament les sortides disminueixen ✓

On talla els eixos. L'eix vertical a $(0,5)$, que és la $b$. I l'eix horitzontal quan $-3x+5 = 0$, és a dir $x = 5/3$.

Un error de signe que convé no fer. A $y = -3x+5$, el pendent és $-3$ i no $3$: el signe forma part del coeficient. Llegir $m=3$ portaria a dir que la funció creix, que és el contrari del que fa.

Exercici resolt: la recta per (0,4) i (2,0)

Troba la recta que passa pels punts $(0,4)$ i $(2,0)$.

Pas 1 — l'ordenada a l'origen la tenim regalada. El punt $(0,4)$ té $x=0$, de manera que

$$b = 4.$$

Sempre que un dels punts tingui primera coordenada zero, és el punt de tall amb l'eix vertical i dona la $b$ directament.

Pas 2 — pendent.

$$m = \frac{0-4}{2-0} = \frac{-4}{2} = -2.$$

Control de signe. Quan $x$ passa de $0$ a $2$, la $y$ passa de $4$ a $0$: baixa. El pendent havia de ser negatiu ✓

La recta és $y = -2x + 4$.

Pas 3 — comprova amb els dos punts.

$$y(0) = 4 \ \checkmark, \qquad y(2) = -4+4 = 0 \ \checkmark$$

Lectura dels dos coeficients. Talla l'eix vertical a l'alçada $4$ i l'eix horitzontal a $x=2$, i baixa dues unitats per cada unitat que avança. Amb aquests dos punts de tall es dibuixa immediatament.

Un atall que val la pena conèixer. Quan tens els dos punts de tall amb els eixos, $(0, q)$ i $(p, 0)$, el pendent és sempre $-q/p$. Aquí: $-4/2 = -2$ ✓ No és una fórmula que calgui memoritzar, però reconèixer el patró estalvia la divisió.

On ho faràs servir

Les funcions afines són el model de tot el que té una part fixa i una part proporcional: tarifes, costos de producció, dipòsits que s'omplen a ritme constant, moviment rectilini uniforme.

El pendent és, de fet, el primer contacte amb la idea de ritme de canvi, que a batxillerat es converteix en la derivada. Que el pendent d'una recta sigui constant és justament el que distingeix el creixement lineal de tots els altres.

I la comparació de dos models amb el seu punt d'empat és un dels problemes aplicats que més es repeteixen: comparar ofertes, trobar el punt d'equilibri entre cost i ingrés, o decidir a partir de quin consum convé canviar de tarifa. En tots, el mètode és el d'aquest tema: igualar per trobar l'empat i plantejar la desigualtat per decidir els trams.