Monomis i polinomis: grau, operacions i arrels

Els polinomis són les expressions algebraiques més senzilles que existeixen, i per això són les que es fan servir per modelar gairebé tot. Operar-hi no és difícil; el que cal és ser sistemàtic, perquè els errors d'aquest tema són quasi tots de descuit.

El que has de dominar abans: expressions equivalents i potències.

Monomi, polinomi i grau

Un monomi és un producte d'un número per una part literal: $-3x^{2}$ té coeficient $-3$ i part literal $x^{2}$.

Un polinomi és una suma finita de monomis amb exponents enters no negatius. Això exclou coses com $x^{-1}$ o $\sqrt{x}$, que no són polinomis.

El grau d'un polinomi no nul és l'exponent més alt amb coeficient diferent de zero, després de reduir els termes semblants. Aquesta última condició és important: a $x^{2} + 3x - x^{2}$ el grau no és $2$, perquè en reduir queda $3x$ i el grau és $1$.

Sumar i restar

S'agrupen els termes semblants, exactament com al tema del llenguatge algebraic.

En restar, es canvia el signe de tots els termes del segon polinomi. Escriure el parèntesi i distribuir el menys abans de res estalvia la major part dels errors.

Multiplicar

Cada terme del primer multiplica cadascun dels termes del segon. Si el primer té dos termes i el segon dos, hi ha quatre productes; si té tres i dos, n'hi ha sis.

Recordatori de potències: en multiplicar, els exponents se sumen. $x^{2}\cdot x^{3} = x^{5}$.

Arrels

Una arrel de $P(x)$ és un valor $r$ tal que

$$P(r) = 0.$$

Les arrels són el que connecta els polinomis amb les equacions: resoldre $P(x) = 0$ és buscar-ne les arrels. I com veuràs al tema següent, cada arrel dona un factor.

Divisió i la identitat que la comprova

En dividir $P$ entre un divisor $D$ no nul, s'obté un quocient $Q$ i un residu $R$ amb

$$P = D\,Q + R,$$

on el residu té grau menor que el divisor, o bé és zero.

Aquesta identitat no és una curiositat: és la comprovació del procediment. Si multipliques divisor per quocient, hi sumes el residu i no recuperes el polinomi inicial, la divisió està malament. I si el residu és zero, vol dir que el divisor és un factor de $P$.

Exercici resolt: desenvolupar un producte

Desenvolupa $(x-5)(x+2)$.

Els quatre productes.

$$x\cdot x = x^{2}, \quad x\cdot 2 = 2x, \quad -5\cdot x = -5x, \quad -5\cdot 2 = -10.$$

Agrupa.

$$x^{2} + 2x - 5x - 10 = x^{2} - 3x - 10.$$

Comprovació a $x = 1$. L'original: $(1-5)(1+2) = -4\cdot 3 = -12$. El resultat: $1 - 3 - 10 = -12$ ✓

Comprovació per les arrels. El producte s'anul·la a $x=5$ i a $x=-2$. Al resultat: $25-15-10 = 0$ ✓ i $4+6-10=0$ ✓

Un patró que val la pena notar. El terme constant és el producte dels dos números ($-5 \cdot 2 = -10$) i el coeficient de $x$ és la seva suma ($-5 + 2 = -3$). Això passa sempre que els dos binomis tenen $x$ amb coeficient u, i és exactament el que es fa servir a l'inrevés per factoritzar al tema següent.

Exercici resolt: comprovar una arrel i una factorització

Comprova que $2$ és arrel de $P(x) = x^{3} - 3x^{2} + 4$ i que $P(x) = (x-2)(x^{2}-x-2)$.

Primera part: és $2$ una arrel? Substitueix:

$$P(2) = 2^{3} - 3\cdot 2^{2} + 4 = 8 - 12 + 4 = 0.$$

Sí, de manera que $2$ és arrel i, per tant, $x-2$ ha de ser un factor de $P(x)$.

Segona part: és correcta la factorització? La comprovació és multiplicar i veure si recuperem $P$:

$$(x-2)(x^{2}-x-2).$$

Els sis productes:

$$x^{3} - x^{2} - 2x - 2x^{2} + 2x + 4.$$

Agrupant:

$$x^{3} + (-1-2)x^{2} + (-2+2)x + 4 = x^{3} - 3x^{2} + 4 \quad\checkmark$$

Fixa't en el terme en $x$: es cancel·la del tot, i per això el polinomi original no té terme lineal. Si en desenvolupar t'hagués quedat algun $x$, sabries que la factorització era incorrecta.

Per què funciona aquesta comprovació. És la identitat $P = D\,Q + R$ amb $R = 0$: multiplicar divisor per quocient ha de retornar el dividend. Serveix per comprovar qualsevol divisió o factorització, i és infal·lible.

I una conseqüència que ja apunta al tema següent. El segon factor, $x^{2}-x-2$, encara es pot factoritzar com $(x-2)(x+1)$, de manera que $P(x) = (x-2)^{2}(x+1)$. L'arrel $x=2$ és doble, cosa que no es veia gens a l'expressió original.

On ho faràs servir

Els polinomis són el llenguatge de les funcions: les lineals, les quadràtiques i les cúbiques són polinomis, i les seves arrels són els punts on la gràfica toca l'eix horitzontal.

A física apareixen en les equacions del moviment, on l'espai en funció del temps és un polinomi de grau dos. I a tecnologia i economia, qualsevol model de cost, benefici o producció es formula com un polinomi.

La divisió i la identitat $P = DQ+R$ són la base del tema següent, la factorització, i també de la regla de Ruffini. Si et queda clar que residu zero vol dir factor, tens la idea central dels dos temes.