EDO lineals d'ordre superior: coeficients constants, ressonància i Laplace

Quan passes al segon ordre canvia l'estratègia. En primer ordre buscaves una fórmula tancada tipus per tipus; a partir d'ara treballes amb estructura lineal: el conjunt de solucions de l'equació homogènia és un espai vectorial de dimensió igual a l'ordre, i tota solució de l'equació completa és una solució particular més un element d'aquest espai. Tot el que segueix és conseqüència d'aquesta frase, i entendre-la t'estalvia memoritzar mitja dotzena de receptes soltes.

L'estructura: homogènia més particular

Una equació lineal normalitzada d'ordre $n$ és

$$y^{(n)} + a_{n-1}(t)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(t)\,y' + a_0(t)\,y = g(t).$$

Amb coeficients continus en un interval, l'espai de solucions de l'homogènia (la que té $g = 0$) té dimensió exactament $n$. Això vol dir que si trobes $n$ solucions independents ja les tens totes, i que si en tens $n+1$ segur que una depèn de les altres. Si a més coneixes una solució particular $y_p$ de l'equació completa, qualsevol altra solució s'escriu $y_p + y_h$: la diferència de dues particulars sempre és homogènia, perquè en restar-les el terme $g$ es cancel·la.

En segon ordre, la independència es comprova amb el wronskià $W = y_1 y_2' - y_1' y_2$. La identitat d'Abel diu que $W' = -a_1 W$, cosa que es demostra derivant $W$ i substituint les dues equacions. La conseqüència pràctica és forta: si dues solucions de la mateixa equació regular tenen wronskià no nul en un sol punt, ja no s'anul·la en cap punt de l'interval i formen base. Aquesta conclusió no val per a funcions qualsevol: hi ha parelles de funcions independents amb wronskià idènticament nul, i el teorema no s'hi aplica perquè no són solucions d'una mateixa equació regular.

Coeficients constants: l'equació característica

Si tots els coeficients són constants, prova $y = e^{rt}$. Substituint, l'equació es converteix en un polinomi $p(r) = 0$, l'equació característica. La lectura de les arrels és mecànica:

• Una arrel real $r$ de multiplicitat $m$ aporta $e^{rt}$, $t e^{rt}$, ..., $t^{m-1}e^{rt}$.
• Una parella complexa conjugada $\alpha \pm i\beta$ de multiplicitat $m$ aporta $t^{k}e^{\alpha t}\cos(\beta t)$ i $t^{k}e^{\alpha t}\sin(\beta t)$ per a cada $k$ des de $0$ fins a $m-1$.

Els factors $t^{k}$ de les arrels múltiples són el punt on més gent falla, i no són cap truc: apareixen perquè amb multiplicitat l'exponencial sola no genera prou dimensions per omplir l'espai de solucions.

Coeficients indeterminats i ressonància

Quan el terme forçat $g(t)$ és un polinomi, una exponencial, un sinus o un cosinus (o un producte d'aquests), la particular es busca dins la mateixa família amb coeficients per determinar. La regla d'or és la de la ressonància: si l'assaig que anaves a provar ja és solució de l'homogènia, no pot funcionar mai, i cal multiplicar-lo per $t^{m}$, on $m$ és la multiplicitat de l'arrel característica corresponent. Físicament, la ressonància és el que passa quan excites un sistema justament a la seva freqüència pròpia, i el creixement del factor $t$ és l'amplitud que es dispara.

Variació de constants: quan el forçament no és amable

Si $g(t)$ no és de les famílies anteriors (per exemple una tangent, un logaritme o un quocient), els coeficients indeterminats no serveixen i cal variació de constants. Partint d'una base $y_1, y_2$ de l'homogènia amb wronskià $W$ no nul, es busca $y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2$ i s'imposa la condició auxiliar $u_1' y_1 + u_2' y_2 = 0$, que és el que fa que el sistema quedi determinat. Substituint a l'equació apareix la segona relació, $u_1' y_1' + u_2' y_2' = g$, i resolent el sistema de dues equacions,

$$u_1' = -\frac{y_2\,g}{W}, \qquad u_2' = \frac{y_1\,g}{W}, \qquad y_p = -y_1\int \frac{y_2 g}{W}\,dt + y_2\int \frac{y_1 g}{W}\,dt.$$

Condició prèvia imprescindible: l'equació ha d'estar normalitzada, és a dir amb coeficient $1$ davant de la derivada més alta. Si l'enunciat te la dona multiplicada per alguna cosa, divideix primer, i fes-ho en un interval on aquell coeficient no s'anul·li.

Transformada de Laplace

Per a funcions raonables definides a $t \geq 0$, la transformada és $Y(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} y(t)\,dt$. Integrant per parts s'obtenen les dues propietats que la fan útil:

$$\mathcal{L}(y') = sY - y(0), \qquad \mathcal{L}(y'') = s^{2}Y - s\,y(0) - y'(0).$$

Perquè aquestes fórmules tinguin sentit cal que la integral convergeixi, cosa que es garanteix per exemple si la funció és contínua a trossos i creix com a molt exponencialment; sota aquestes condicions hi ha també un teorema d'unicitat que assegura que dues funcions contínues amb la mateixa transformada coincideixen, i és el que permet antitransformar amb taules sense por.

El valor d'això és que les dades inicials entren dins de l'àlgebra: transformes l'equació, aïlles $Y(s)$ com si fos una incògnita d'una equació de primer grau, descompons en fraccions simples i antitransformes. És especialment còmode amb forçaments a trossos o amb esglaons, on els mètodes anteriors obliguen a resoldre tram a tram i enganxar. Com sempre, les condicions d'existència de la integral s'han de declarar.

Exercici resolt: arrels reals

Resol $y'' - y = 0$ amb $y(0) = 0$ i $y'(0) = 2$.

Arrels $r = \pm 1$, de manera que $y = C_1 e^{t} + C_2 e^{-t}$. Les dades donen $C_1 + C_2 = 0$ i $C_1 - C_2 = 2$, és a dir $C_1 = 1$ i $C_2 = -1$. La solució és $y = e^{t} - e^{-t} = 2\sinh t$, i es comprova immediatament que la seva segona derivada coincideix amb ella mateixa.

Exercici resolt: arrel doble amb forçament

Resol $y'' - 4y' + 4y = e^{2t}$.

L'equació característica és $(r-2)^2 = 0$, amb arrel doble $r = 2$. L'homogènia és, doncs, $C_1 e^{2t} + C_2 t e^{2t}$. Com que el forçament $e^{2t}$ correspon a una arrel de multiplicitat $2$, l'assaig s'ha de multiplicar per $t^{2}$: provem $y_p = A t^{2}e^{2t}$. Substituint s'obté $y_p'' - 4y_p' + 4y_p = 2A e^{2t}$, i per tant $A = \tfrac12$. La solució general és

$$y = C_1 e^{2t} + C_2 t e^{2t} + \tfrac{1}{2}t^{2}e^{2t}.$$

Si haguessis provat només $A e^{2t}$ o $A t e^{2t}$ hauries obtingut $0 = e^{2t}$, que és la manera que té l'exercici de dir-te que t'has saltat la ressonància.

El pas següent natural és passar de una equació d'ordre $n$ a un sistema de primer ordre, que és el llenguatge en què es parla d'estabilitat.