Raons i proporcionalitat directa: reducció a la unitat i regla de tres
Vols practicar? Aquest tema té 108 exercicis interactius de 4 tipus, de deu en deu, amb correcció immediata i explicació pas a pas.
La proporcionalitat directa és el model matemàtic més utilitzat de tots, i també el que s'aplica malament més sovint. El problema gairebé mai no és el càlcul: és aplicar-la a situacions on no toca.
El que has de dominar abans: fraccions i operacions amb decimals.
Què és una raó
Una raó compara dues quantitats dividint-les. La raó entre euros i quilos és euros per quilo.
El que fa interessant una raó no és el número sol, sinó el fet que tingui unitats: «euros per quilo», «quilòmetres per hora», «habitants per quilòmetre quadrat». Les unitats expliquen què vol dir la divisió i et diuen si l'has feta en el sentit correcte.
Quan dues magnituds són directament proporcionals
Dues magnituds són directament proporcionals si la raó entre elles és constant:
La és la constant de proporcionalitat, i també té unitats. Si són euros i són quilos, són euros per quilo.
De la fórmula surten tres conseqüències que serveixen per reconèixer el model:
Si dobles , es dobla . I si el multipliques per tres, es multiplica per tres. Això es diu que el model és multiplicatiu.
Si val zero, val zero. Cap quilo, cap euro. Si en una situació real no dona , la relació no és proporcionalitat directa.
La gràfica és una recta que passa per l'origen. Aquesta és la comprovació visual més ràpida de totes.
Com es resolen: dos camins
Reducció a la unitat. Primer calcules què correspon a una unitat i després multipliques per la quantitat que et demanen. És el camí que més es recomana perquè cada pas té un significat clar i et deixa comprovar el resultat sobre la marxa.
Factor de canvi. Mires per quin número has de multiplicar la quantitat coneguda per arribar a la demanada, i apliques el mateix factor a l'altra magnitud. És més ràpid quan els números són còmodes, per exemple si passes de quatre a vuit unitats.
Tots dos camins són la mateixa cosa i donen el mateix resultat. L'anomenada regla de tres no és un tercer mètode: és la reducció a la unitat escrita de manera abreujada, i té l'inconvenient que es pot aplicar mecànicament sense haver comprovat que hi hagi proporcionalitat.
Que les dues creixin no vol dir que siguin proporcionals
Aquest és l'error central de tot el tema. Si dues magnituds creixen alhora, pot ser proporcionalitat o pot no ser-ho.
Mira el cost d'un servei amb quota: . Si passa d' a , el cost passa de a . Ha crescut, però no s'ha doblat. I amb el cost no és zero: són euros.
Una relació com aquesta, de la forma amb diferent de zero, s'anomena afí. No és proporcionalitat directa, i aplicar-hi una regla de tres dona resultats falsos.
La comprovació de deu segons: mira què passa quan la primera magnitud val zero. Si l'altra no val zero, no hi ha proporcionalitat directa.
Reducció a la unitat amb comprovació
Si kg de pomes costen euros, quant costen kg?
Pas 1 — comprova que el model tingui sentit. El mateix tipus de poma, el mateix preu per quilo, cap descompte per quantitat. Amb aquests supòsits, el cost és proporcional a la massa.
Pas 2 — reducció a la unitat.
Aquesta és la constant de proporcionalitat, i el model complet és .
Pas 3 — multiplica.
Comprovació per estimació. Cinc quilos són una mica més que els tres de partida, concretament un més. El preu ha passat de a , que és també un més. Encaixa.
Comprovació per raó. , la mateixa raó que teníem. Si no coincidís, el càlcul seria incorrecte.
Comprovar si una taula és proporcional
Mira si els parells , i corresponen a magnituds directament proporcionals, i troba la constant.
Calcula la raó de cada parell.
Les tres raons coincideixen, de manera que sí: hi ha proporcionalitat directa amb , i el model és .
Comprovació amb un parell nou. Si , el model prediu . I la raó torna a donar ✓
El que cal que et quedi del mètode. No n'hi ha prou amb comprovar un parell: cal que tots donin la mateixa raó. Si un sol parell se'n surt, el model no és proporcional, i amb dades reals això passa sovint. En aquest cas no s'ha de forçar la proporcionalitat: s'ha de dir que no n'hi ha.
Escriu sempre les unitats de la constant
Quan calculis la constant, escriu-ne les unitats: «dos euros amb quaranta per quilo», no «dos amb quaranta».
Serveix per a dues coses. Primer, et diu si has dividit en el sentit correcte: si volies euros per quilo i t'han sortit quilos per euro, has invertit la divisió. Segon, et permet comprovar el resultat final, perquè les unitats s'han de cancel·lar: euros per quilo multiplicat per quilos dona euros.
Aquest hàbit, que sembla una formalitat, és el que detecta la majoria dels errors de plantejament en els problemes de proporcionalitat.
Exercici resolt: preu de set llibretes
Quatre llibretes costen euros. Quant costen set llibretes al mateix preu unitari?
L'enunciat et diu «al mateix preu unitari», és a dir que confirma explícitament la proporcionalitat. Això és el que et permet continuar.
Reducció a la unitat.
Multiplica per set.
Comprovació amb la raó. ✓, la mateixa constant.
Comprovació d'estimació. Set llibretes són una mica menys del doble de quatre, i és una mica menys del doble de . Coherent.
Un detall sobre la resposta. El resultat dona un número amb cèntims exactes, cosa que no sempre passa. Si et sortís un preu amb més de dos decimals, caldria arrodonir-lo a cèntims i dir-ho, perquè no existeixen fraccions de cèntim.
Exercici resolt: per què quatre hores no costen el doble que dues
Un servei costa euros de quota més euros per hora. Explica per què quatre hores no costen el doble que dues hores.
Escriu el model.
Calcula els dos casos.
El doble de seria , i el cost real de quatre hores és . La diferència és de euros, exactament la quota.
Per què passa. Només la part de és proporcional a les hores: aquesta sí que es dobla, de a euros. La quota de euros, en canvi, es paga una sola vegada independentment de les hores, i per tant no es dobla. En doblar les hores dobles una part del cost però no l'altra.
Comprovació amb el criteri del zero. Amb el cost és euros i no zero: confirmat que no és proporcionalitat directa.
Una observació que val la pena. Com més hores contractes, menys pesa la quota en el total: el cost per hora passa de cinc euros amb dues hores a quatre euros amb quatre. Per això aquests contractes són relativament més barats com més els fas servir, i és la raó de ser de les tarifes amb quota.
On ho faràs servir
La proporcionalitat directa és la base de tot el bloc que ve a continuació: els percentatges, les escales, les densitats i els preus unitaris són tots casos particulars seus. També és el model de les funcions lineals del bloc de funcions, on la fórmula reapareix amb la constant anomenada pendent.
Fora de les matemàtiques, la trobaràs a totes les conversions d'unitats, a les receptes quan es canvia el nombre de comensals, en els càlculs de consum i en qualsevol comparació de preus. En tots aquests casos, el que decideix si l'has resolt bé no és la regla de tres sinó la pregunta prèvia: és realment proporcional, això?
I quan la resposta és que no, com en els contractes amb quota, els descomptes per quantitat o els impostos per trams, el que has de fer és escriure el model complet amb la seva part fixa. Un model mal triat no es pot arreglar calculant millor, i aquesta és probablement la idea més important de tot el bloc.
Ara prova-ho tu. 108 exercicis d'aquest tema, de 4 tipus diferents, per resoldre en línia, de deu en deu: escrius la resposta, te la corregeix a l'instant i, si falles, t'explica com es fa pas a pas. Quan acabis una tanda, en tens deu més, amb dades noves.
Fer els exercicisSimulacre d'examen