Biblioteca de 132 exercicis de 2 tipus diferents, de 10 en 10: els del mateix tipus canvien les dades. Escriu la resposta, comprova-la i, si falla, mira les pistes abans de rendir-te.
Si algun se't resisteix, torna a la teoria de diagonalització. I quan et vegis fort, prova el simulacre d'examen: dotze exercicis en 35 minuts, la majoria dels difícils i sense pistes.
0 de 10 encertats
Exercici 1
Quin és el valor propi més gran de la matriu (1002)?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Els valors propis surten de resoldre ∣M−λI∣=0.
Pista 2.
Aquesta matriu és triangular: els valors propis es llegeixen directament a la diagonal.
Com es fa
Els valors propis són les solucions de l'equació característica:
∣M−λI∣=0
Aquí hi ha una drecera: la matriu és triangular (té un zero sota la diagonal), i en una matriu triangular els valors propis són directament els elements de la diagonal.
λ1=1,λ2=2
El més gran és λ=2.
Dues comprovacions que sempre val la pena fer:
La suma dels valors propis ha de donar la traça: 1+2=3, i tr(M)=3. ✓
El producte ha de donar el determinant: 1⋅2=2, i ∣M∣=2. ✓
Compte amb això.
Oblidar-se del −λ a la diagonal en plantejar l'equació característica, o donar el valor propi petit.
Exercici 2
Una matriu 2×2 té valors propis λ1=1 i λ2=1. Quant val el seu determinant?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
El determinant està relacionat amb els valors propis d'una manera molt directa.
Pista 2.
El determinant és el producte dels valors propis; la traça, la suma.
Com es fa
Dues relacions que convé tenir memoritzades, perquè estalvien molta feina i serveixen per comprovar resultats:
∣M∣=λ1⋅λ2⋯λntr(M)=λ1+λ2+⋯+λn
Aquí:
∣M∣=(1)(1)=1
Com que el determinant no és zero, cap valor propi és zero i la matriu té inversa.
De passada, la traça seria 1+1=2.
Compte amb això.
Sumar els valors propis en comptes de multiplicar-los. La suma dona la traça, no el determinant.
Exercici 3
Quin és el valor propi més gran de la matriu (1012)?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Els valors propis surten de resoldre ∣M−λI∣=0.
Pista 2.
Aquesta matriu és triangular: els valors propis es llegeixen directament a la diagonal.
Com es fa
Els valors propis són les solucions de l'equació característica:
∣M−λI∣=0
Aquí hi ha una drecera: la matriu és triangular (té un zero sota la diagonal), i en una matriu triangular els valors propis són directament els elements de la diagonal.
λ1=1,λ2=2
El més gran és λ=2.
Dues comprovacions que sempre val la pena fer:
La suma dels valors propis ha de donar la traça: 1+2=3, i tr(M)=3. ✓
El producte ha de donar el determinant: 1⋅2=2, i ∣M∣=2. ✓
Compte amb això.
Oblidar-se del −λ a la diagonal en plantejar l'equació característica, o donar el valor propi petit.
Exercici 4
Una matriu 2×2 té valors propis λ1=1 i λ2=2. Quant val el seu determinant?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
El determinant està relacionat amb els valors propis d'una manera molt directa.
Pista 2.
El determinant és el producte dels valors propis; la traça, la suma.
Com es fa
Dues relacions que convé tenir memoritzades, perquè estalvien molta feina i serveixen per comprovar resultats:
∣M∣=λ1⋅λ2⋯λntr(M)=λ1+λ2+⋯+λn
Aquí:
∣M∣=(1)(2)=2
Com que el determinant no és zero, cap valor propi és zero i la matriu té inversa.
De passada, la traça seria 1+2=3.
Compte amb això.
Sumar els valors propis en comptes de multiplicar-los. La suma dona la traça, no el determinant.
Exercici 5
Quin és el valor propi més gran de la matriu (1022)?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Els valors propis surten de resoldre ∣M−λI∣=0.
Pista 2.
Aquesta matriu és triangular: els valors propis es llegeixen directament a la diagonal.
Com es fa
Els valors propis són les solucions de l'equació característica:
∣M−λI∣=0
Aquí hi ha una drecera: la matriu és triangular (té un zero sota la diagonal), i en una matriu triangular els valors propis són directament els elements de la diagonal.
λ1=1,λ2=2
El més gran és λ=2.
Dues comprovacions que sempre val la pena fer:
La suma dels valors propis ha de donar la traça: 1+2=3, i tr(M)=3. ✓
El producte ha de donar el determinant: 1⋅2=2, i ∣M∣=2. ✓
Compte amb això.
Oblidar-se del −λ a la diagonal en plantejar l'equació característica, o donar el valor propi petit.
Exercici 6
Una matriu 2×2 té valors propis λ1=1 i λ2=3. Quant val el seu determinant?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
El determinant està relacionat amb els valors propis d'una manera molt directa.
Pista 2.
El determinant és el producte dels valors propis; la traça, la suma.
Com es fa
Dues relacions que convé tenir memoritzades, perquè estalvien molta feina i serveixen per comprovar resultats:
∣M∣=λ1⋅λ2⋯λntr(M)=λ1+λ2+⋯+λn
Aquí:
∣M∣=(1)(3)=3
Com que el determinant no és zero, cap valor propi és zero i la matriu té inversa.
De passada, la traça seria 1+3=4.
Compte amb això.
Sumar els valors propis en comptes de multiplicar-los. La suma dona la traça, no el determinant.
Exercici 7
Quin és el valor propi més gran de la matriu (100−2)?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Els valors propis surten de resoldre ∣M−λI∣=0.
Pista 2.
Aquesta matriu és triangular: els valors propis es llegeixen directament a la diagonal.
Com es fa
Els valors propis són les solucions de l'equació característica:
∣M−λI∣=0
Aquí hi ha una drecera: la matriu és triangular (té un zero sota la diagonal), i en una matriu triangular els valors propis són directament els elements de la diagonal.
λ1=1,λ2=−2
El més gran és λ=1.
Dues comprovacions que sempre val la pena fer:
La suma dels valors propis ha de donar la traça: 1−2=−1, i tr(M)=−1. ✓
El producte ha de donar el determinant: 1⋅(−2)=−2, i ∣M∣=−2. ✓
Compte amb això.
Oblidar-se del −λ a la diagonal en plantejar l'equació característica, o donar el valor propi petit.
Exercici 8
Una matriu 2×2 té valors propis λ1=1 i λ2=−1. Quant val el seu determinant?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
El determinant està relacionat amb els valors propis d'una manera molt directa.
Pista 2.
El determinant és el producte dels valors propis; la traça, la suma.
Com es fa
Dues relacions que convé tenir memoritzades, perquè estalvien molta feina i serveixen per comprovar resultats:
∣M∣=λ1⋅λ2⋯λntr(M)=λ1+λ2+⋯+λn
Aquí:
∣M∣=(1)(−1)=−1
Com que el determinant no és zero, cap valor propi és zero i la matriu té inversa.
De passada, la traça seria 1−1=0.
Compte amb això.
Sumar els valors propis en comptes de multiplicar-los. La suma dona la traça, no el determinant.
Exercici 9
Quin és el valor propi més gran de la matriu (101−2)?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Els valors propis surten de resoldre ∣M−λI∣=0.
Pista 2.
Aquesta matriu és triangular: els valors propis es llegeixen directament a la diagonal.
Com es fa
Els valors propis són les solucions de l'equació característica:
∣M−λI∣=0
Aquí hi ha una drecera: la matriu és triangular (té un zero sota la diagonal), i en una matriu triangular els valors propis són directament els elements de la diagonal.
λ1=1,λ2=−2
El més gran és λ=1.
Dues comprovacions que sempre val la pena fer:
La suma dels valors propis ha de donar la traça: 1−2=−1, i tr(M)=−1. ✓
El producte ha de donar el determinant: 1⋅(−2)=−2, i ∣M∣=−2. ✓
Compte amb això.
Oblidar-se del −λ a la diagonal en plantejar l'equació característica, o donar el valor propi petit.
Exercici 10
Una matriu 2×2 té valors propis λ1=1 i λ2=−3. Quant val el seu determinant?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
El determinant està relacionat amb els valors propis d'una manera molt directa.
Pista 2.
El determinant és el producte dels valors propis; la traça, la suma.
Com es fa
Dues relacions que convé tenir memoritzades, perquè estalvien molta feina i serveixen per comprovar resultats:
∣M∣=λ1⋅λ2⋯λntr(M)=λ1+λ2+⋯+λn
Aquí:
∣M∣=(1)(−3)=−3
Com que el determinant no és zero, cap valor propi és zero i la matriu té inversa.
De passada, la traça seria 1−3=−2.
Compte amb això.
Sumar els valors propis en comptes de multiplicar-los. La suma dona la traça, no el determinant.
Com escriure les respostes. A les integrals pots posar-hi la constant (+ C) o deixar-la: es dona per bona igual. Fes servir ^ per als exponents (x^2), * o res per multiplicar (3x i 3*x valen igual), / per dividir i sqrt( ) per a les arrels. Les funcions s'escriuensin(x), cos(x), ln(x), e^x. No cal que simplifiquis: qualsevol forma equivalent es dona per bona.
Has fallat algun exercici.Repassa'ls abans de continuar: el que has de repetir és justament el que no et surt.
Galetes
Fem servir galetes tècniques (necessàries perquè el lloc funcioni) i, si ens hi dones permís, galetes d'analítica i de publicitat que ens ajuden a mantenir els apunts gratuïts. Pots acceptar-les, rebutjar-les o triar-les una per una. Detall a la política de galetes.