Exercicis de diagonalització

Els valors propis són les solucions de l'equació característica:

$|M - \lambda I| = 0$

Aquí hi ha una drecera: la matriu és triangular (té un zero sota la diagonal), i en una matriu triangular els valors propis són directament els elements de la diagonal.

$\lambda_1 = 3, \qquad \lambda_2 = 1$

El més gran és $\lambda = 3$.

Dues comprovacions que sempre val la pena fer:

• La suma dels valors propis ha de donar la traça: $3 + 1 = 4$, i $\operatorname{tr}(M) = 4$. ✓
• El producte ha de donar el determinant: $3 \cdot 1 = 3$, i $|M| = 3$. ✓

Dues relacions que convé tenir memoritzades, perquè estalvien molta feina i serveixen per comprovar resultats:

$|M| = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdots \lambda_n \qquad \operatorname{tr}(M) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n$

Aquí:

$|M| = (5)(-3) = -15$

Com que el determinant no és zero, cap valor propi és zero i la matriu té inversa.

De passada, la traça seria $5 - 3 = 2$.

Els valors propis són les solucions de l'equació característica:

$|M - \lambda I| = 0$

Aquí hi ha una drecera: la matriu és triangular (té un zero sota la diagonal), i en una matriu triangular els valors propis són directament els elements de la diagonal.

$\lambda_1 = 3, \qquad \lambda_2 = 1$

El més gran és $\lambda = 3$.

Dues comprovacions que sempre val la pena fer:

• La suma dels valors propis ha de donar la traça: $3 + 1 = 4$, i $\operatorname{tr}(M) = 4$. ✓
• El producte ha de donar el determinant: $3 \cdot 1 = 3$, i $|M| = 3$. ✓

Dues relacions que convé tenir memoritzades, perquè estalvien molta feina i serveixen per comprovar resultats:

$|M| = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdots \lambda_n \qquad \operatorname{tr}(M) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n$

Aquí:

$|M| = (5)(6) = 30$

Com que el determinant no és zero, cap valor propi és zero i la matriu té inversa.

De passada, la traça seria $5 + 6 = 11$.

Els valors propis són les solucions de l'equació característica:

$|M - \lambda I| = 0$

Aquí hi ha una drecera: la matriu és triangular (té un zero sota la diagonal), i en una matriu triangular els valors propis són directament els elements de la diagonal.

$\lambda_1 = 3, \qquad \lambda_2 = 6$

El més gran és $\lambda = 6$.

Dues comprovacions que sempre val la pena fer:

• La suma dels valors propis ha de donar la traça: $3 + 6 = 9$, i $\operatorname{tr}(M) = 9$. ✓
• El producte ha de donar el determinant: $3 \cdot 6 = 18$, i $|M| = 18$. ✓

Els valors propis són les solucions de l'equació característica:

$|M - \lambda I| = 0$

Aquí hi ha una drecera: la matriu és triangular (té un zero sota la diagonal), i en una matriu triangular els valors propis són directament els elements de la diagonal.

$\lambda_1 = 3, \qquad \lambda_2 = 6$

El més gran és $\lambda = 6$.

Dues comprovacions que sempre val la pena fer:

• La suma dels valors propis ha de donar la traça: $3 + 6 = 9$, i $\operatorname{tr}(M) = 9$. ✓
• El producte ha de donar el determinant: $3 \cdot 6 = 18$, i $|M| = 18$. ✓

Els valors propis són les solucions de l'equació característica:

$|M - \lambda I| = 0$

Aquí hi ha una drecera: la matriu és triangular (té un zero sota la diagonal), i en una matriu triangular els valors propis són directament els elements de la diagonal.

$\lambda_1 = 3, \qquad \lambda_2 = 6$

El més gran és $\lambda = 6$.

Dues comprovacions que sempre val la pena fer:

• La suma dels valors propis ha de donar la traça: $3 + 6 = 9$, i $\operatorname{tr}(M) = 9$. ✓
• El producte ha de donar el determinant: $3 \cdot 6 = 18$, i $|M| = 18$. ✓

Els valors propis són les solucions de l'equació característica:

$|M - \lambda I| = 0$

Aquí hi ha una drecera: la matriu és triangular (té un zero sota la diagonal), i en una matriu triangular els valors propis són directament els elements de la diagonal.

$\lambda_1 = -1, \qquad \lambda_2 = 2$

El més gran és $\lambda = 2$.

Dues comprovacions que sempre val la pena fer:

• La suma dels valors propis ha de donar la traça: $-1 + 2 = 1$, i $\operatorname{tr}(M) = 1$. ✓
• El producte ha de donar el determinant: $-1 \cdot 2 = -2$, i $|M| = -2$. ✓

Els valors propis són les solucions de l'equació característica:

$|M - \lambda I| = 0$

Aquí hi ha una drecera: la matriu és triangular (té un zero sota la diagonal), i en una matriu triangular els valors propis són directament els elements de la diagonal.

$\lambda_1 = -1, \qquad \lambda_2 = 2$

El més gran és $\lambda = 2$.

Dues comprovacions que sempre val la pena fer:

• La suma dels valors propis ha de donar la traça: $-1 + 2 = 1$, i $\operatorname{tr}(M) = 1$. ✓
• El producte ha de donar el determinant: $-1 \cdot 2 = -2$, i $|M| = -2$. ✓

Els valors propis són les solucions de l'equació característica:

$|M - \lambda I| = 0$

Aquí hi ha una drecera: la matriu és triangular (té un zero sota la diagonal), i en una matriu triangular els valors propis són directament els elements de la diagonal.

$\lambda_1 = -1, \qquad \lambda_2 = 2$

El més gran és $\lambda = 2$.

Dues comprovacions que sempre val la pena fer:

• La suma dels valors propis ha de donar la traça: $-1 + 2 = 1$, i $\operatorname{tr}(M) = 1$. ✓
• El producte ha de donar el determinant: $-1 \cdot 2 = -2$, i $|M| = -2$. ✓