Exercicis de diagonalització

Els valors propis són les solucions de l'equació característica:

$|M - \lambda I| = 0$

Aquí hi ha una drecera: la matriu és triangular (té un zero sota la diagonal), i en una matriu triangular els valors propis són directament els elements de la diagonal.

$\lambda_1 = 2, \qquad \lambda_2 = -2$

El més gran és $\lambda = 2$.

Dues comprovacions que sempre val la pena fer:

• La suma dels valors propis ha de donar la traça: $2 - 2 = 0$, i $\operatorname{tr}(M) = 0$. ✓
• El producte ha de donar el determinant: $2 \cdot (-2) = -4$, i $|M| = -4$. ✓

Dues relacions que convé tenir memoritzades, perquè estalvien molta feina i serveixen per comprovar resultats:

$|M| = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdots \lambda_n \qquad \operatorname{tr}(M) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n$

Aquí:

$|M| = (-1)(3) = -3$

Com que el determinant no és zero, cap valor propi és zero i la matriu té inversa.

De passada, la traça seria $-1 + 3 = 2$.

Els valors propis són les solucions de l'equació característica:

$|M - \lambda I| = 0$

Aquí hi ha una drecera: la matriu és triangular (té un zero sota la diagonal), i en una matriu triangular els valors propis són directament els elements de la diagonal.

$\lambda_1 = 2, \qquad \lambda_2 = 3$

El més gran és $\lambda = 3$.

Dues comprovacions que sempre val la pena fer:

• La suma dels valors propis ha de donar la traça: $2 + 3 = 5$, i $\operatorname{tr}(M) = 5$. ✓
• El producte ha de donar el determinant: $2 \cdot 3 = 6$, i $|M| = 6$. ✓

Dues relacions que convé tenir memoritzades, perquè estalvien molta feina i serveixen per comprovar resultats:

$|M| = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdots \lambda_n \qquad \operatorname{tr}(M) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n$

Aquí:

$|M| = (-1)(-1) = 1$

Com que el determinant no és zero, cap valor propi és zero i la matriu té inversa.

De passada, la traça seria $-1 - 1 = -2$.

Els valors propis són les solucions de l'equació característica:

$|M - \lambda I| = 0$

Aquí hi ha una drecera: la matriu és triangular (té un zero sota la diagonal), i en una matriu triangular els valors propis són directament els elements de la diagonal.

$\lambda_1 = 2, \qquad \lambda_2 = 3$

El més gran és $\lambda = 3$.

Dues comprovacions que sempre val la pena fer:

• La suma dels valors propis ha de donar la traça: $2 + 3 = 5$, i $\operatorname{tr}(M) = 5$. ✓
• El producte ha de donar el determinant: $2 \cdot 3 = 6$, i $|M| = 6$. ✓

Dues relacions que convé tenir memoritzades, perquè estalvien molta feina i serveixen per comprovar resultats:

$|M| = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdots \lambda_n \qquad \operatorname{tr}(M) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n$

Aquí:

$|M| = (-1)(-3) = 3$

Com que el determinant no és zero, cap valor propi és zero i la matriu té inversa.

De passada, la traça seria $-1 - 3 = -4$.

Els valors propis són les solucions de l'equació característica:

$|M - \lambda I| = 0$

Aquí hi ha una drecera: la matriu és triangular (té un zero sota la diagonal), i en una matriu triangular els valors propis són directament els elements de la diagonal.

$\lambda_1 = 2, \qquad \lambda_2 = 3$

El més gran és $\lambda = 3$.

Dues comprovacions que sempre val la pena fer:

• La suma dels valors propis ha de donar la traça: $2 + 3 = 5$, i $\operatorname{tr}(M) = 5$. ✓
• El producte ha de donar el determinant: $2 \cdot 3 = 6$, i $|M| = 6$. ✓

Dues relacions que convé tenir memoritzades, perquè estalvien molta feina i serveixen per comprovar resultats:

$|M| = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdots \lambda_n \qquad \operatorname{tr}(M) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n$

Aquí:

$|M| = (-1)(6) = -6$

Com que el determinant no és zero, cap valor propi és zero i la matriu té inversa.

De passada, la traça seria $-1 + 6 = 5$.

Els valors propis són les solucions de l'equació característica:

$|M - \lambda I| = 0$

Aquí hi ha una drecera: la matriu és triangular (té un zero sota la diagonal), i en una matriu triangular els valors propis són directament els elements de la diagonal.

$\lambda_1 = 2, \qquad \lambda_2 = 1$

El més gran és $\lambda = 2$.

Dues comprovacions que sempre val la pena fer:

• La suma dels valors propis ha de donar la traça: $2 + 1 = 3$, i $\operatorname{tr}(M) = 3$. ✓
• El producte ha de donar el determinant: $2 \cdot 1 = 2$, i $|M| = 2$. ✓

Dues relacions que convé tenir memoritzades, perquè estalvien molta feina i serveixen per comprovar resultats:

$|M| = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdots \lambda_n \qquad \operatorname{tr}(M) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n$

Aquí:

$|M| = (-2)(1) = -2$

Com que el determinant no és zero, cap valor propi és zero i la matriu té inversa.

De passada, la traça seria $-2 + 1 = -1$.