Exercicis de diagonalització

Els valors propis són les solucions de l'equació característica:

$|M - \lambda I| = 0$

Aquí hi ha una drecera: la matriu és triangular (té un zero sota la diagonal), i en una matriu triangular els valors propis són directament els elements de la diagonal.

$\lambda_1 = 1, \qquad \lambda_2 = -2$

El més gran és $\lambda = 1$.

Dues comprovacions que sempre val la pena fer:

• La suma dels valors propis ha de donar la traça: $1 - 2 = -1$, i $\operatorname{tr}(M) = -1$. ✓
• El producte ha de donar el determinant: $1 \cdot (-2) = -2$, i $|M| = -2$. ✓

Dues relacions que convé tenir memoritzades, perquè estalvien molta feina i serveixen per comprovar resultats:

$|M| = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdots \lambda_n \qquad \operatorname{tr}(M) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n$

Aquí:

$|M| = (1)(6) = 6$

Com que el determinant no és zero, cap valor propi és zero i la matriu té inversa.

De passada, la traça seria $1 + 6 = 7$.

Els valors propis són les solucions de l'equació característica:

$|M - \lambda I| = 0$

Aquí hi ha una drecera: la matriu és triangular (té un zero sota la diagonal), i en una matriu triangular els valors propis són directament els elements de la diagonal.

$\lambda_1 = 1, \qquad \lambda_2 = 3$

El més gran és $\lambda = 3$.

Dues comprovacions que sempre val la pena fer:

• La suma dels valors propis ha de donar la traça: $1 + 3 = 4$, i $\operatorname{tr}(M) = 4$. ✓
• El producte ha de donar el determinant: $1 \cdot 3 = 3$, i $|M| = 3$. ✓

Dues relacions que convé tenir memoritzades, perquè estalvien molta feina i serveixen per comprovar resultats:

$|M| = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdots \lambda_n \qquad \operatorname{tr}(M) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n$

Aquí:

$|M| = (2)(1) = 2$

Com que el determinant no és zero, cap valor propi és zero i la matriu té inversa.

De passada, la traça seria $2 + 1 = 3$.

Els valors propis són les solucions de l'equació característica:

$|M - \lambda I| = 0$

Aquí hi ha una drecera: la matriu és triangular (té un zero sota la diagonal), i en una matriu triangular els valors propis són directament els elements de la diagonal.

$\lambda_1 = 1, \qquad \lambda_2 = 3$

El més gran és $\lambda = 3$.

Dues comprovacions que sempre val la pena fer:

• La suma dels valors propis ha de donar la traça: $1 + 3 = 4$, i $\operatorname{tr}(M) = 4$. ✓
• El producte ha de donar el determinant: $1 \cdot 3 = 3$, i $|M| = 3$. ✓

Dues relacions que convé tenir memoritzades, perquè estalvien molta feina i serveixen per comprovar resultats:

$|M| = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdots \lambda_n \qquad \operatorname{tr}(M) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n$

Aquí:

$|M| = (2)(2) = 4$

Com que el determinant no és zero, cap valor propi és zero i la matriu té inversa.

De passada, la traça seria $2 + 2 = 4$.

Els valors propis són les solucions de l'equació característica:

$|M - \lambda I| = 0$

Aquí hi ha una drecera: la matriu és triangular (té un zero sota la diagonal), i en una matriu triangular els valors propis són directament els elements de la diagonal.

$\lambda_1 = 1, \qquad \lambda_2 = 3$

El més gran és $\lambda = 3$.

Dues comprovacions que sempre val la pena fer:

• La suma dels valors propis ha de donar la traça: $1 + 3 = 4$, i $\operatorname{tr}(M) = 4$. ✓
• El producte ha de donar el determinant: $1 \cdot 3 = 3$, i $|M| = 3$. ✓

Dues relacions que convé tenir memoritzades, perquè estalvien molta feina i serveixen per comprovar resultats:

$|M| = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdots \lambda_n \qquad \operatorname{tr}(M) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n$

Aquí:

$|M| = (2)(3) = 6$

Com que el determinant no és zero, cap valor propi és zero i la matriu té inversa.

De passada, la traça seria $2 + 3 = 5$.

Els valors propis són les solucions de l'equació característica:

$|M - \lambda I| = 0$

Aquí hi ha una drecera: la matriu és triangular (té un zero sota la diagonal), i en una matriu triangular els valors propis són directament els elements de la diagonal.

$\lambda_1 = 1, \qquad \lambda_2 = 1$

El més gran és $\lambda = 1$.

Dues comprovacions que sempre val la pena fer:

• La suma dels valors propis ha de donar la traça: $1 + 1 = 2$, i $\operatorname{tr}(M) = 2$. ✓
• El producte ha de donar el determinant: $1 \cdot 1 = 1$, i $|M| = 1$. ✓

Dues relacions que convé tenir memoritzades, perquè estalvien molta feina i serveixen per comprovar resultats:

$|M| = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdots \lambda_n \qquad \operatorname{tr}(M) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n$

Aquí:

$|M| = (2)(-1) = -2$

Com que el determinant no és zero, cap valor propi és zero i la matriu té inversa.

De passada, la traça seria $2 - 1 = 1$.