Equacions amb parèntesis i denominadors: eliminar el mcm sense perdre termes

Les equacions d'aquest tema no són més difícils que les del tema anterior: el que hi ha de nou és la preparació. Treure els parèntesis i els denominadors abans de començar converteix l'equació en una de les que ja saps resoldre, i els errors apareixen gairebé sempre en aquesta fase prèvia.

El que has de dominar abans: equacions equivalents, el mcm i les fraccions.

Treure els denominadors

Si els denominadors són números diferents de zero, es multiplica tota l'equació pel seu mcm.

«Tota l'equació» vol dir cadascun dels termes dels dos membres, inclosos els que no tenen denominador. Aquest és el punt on es perden més punts del tema: el terme sense fracció també s'ha de multiplicar.

Per què és legítim. Multiplicar els dos membres per un número diferent de zero conserva la igualtat, i és una de les dues operacions permeses del tema anterior. El mcm és el número més petit que fa que tots els denominadors es cancel·lin.

L'ordre de treball

1. Multiplica pel mcm i cancel·la els denominadors.
2. Treu els parèntesis amb la distributiva, vigilant els signes.
3. Agrupa les incògnites en un membre.
4. Agrupa les constants a l'altre.
5. Aïlla la incògnita.
6. Comprova a l'equació original.

Fer-ho sempre en el mateix ordre és el que converteix aquestes equacions en mecàniques.

El signe davant d'una fracció

Un menys davant d'una fracció afecta tot el numerador, no només el primer terme:

$$-\frac{x+2}{3} = \frac{-(x+2)}{3} = \frac{-x-2}{3}.$$

Quan multipliquis pel mcm, escriu el parèntesi i distribueix el signe en un pas separat. Fer-ho mentalment és la causa més habitual d'error de tot el tema.

Quan la incògnita és al denominador

Si la incògnita apareix a un denominador, hi ha valors prohibits: els que anul·len aquest denominador. Cal:

Anotar-los abans de resoldre. Si el denominador és $x-2$, el valor $x=2$ queda exclòs.

Comprovar-los al final. Si la solució que obtens és un valor prohibit, no és solució: l'equació no en té.

Exercici resolt: parèntesi senzill

Resol $2(x-3) = 10$.

Camí 1 — treu el parèntesi.

$$2x - 6 = 10 \qquad\Longrightarrow\qquad 2x = 16 \qquad\Longrightarrow\qquad x = 8.$$

Camí 2 — divideix primer per $2$. Com que tot el membre esquerre està multiplicat per $2$:

$$x - 3 = 5 \qquad\Longrightarrow\qquad x = 8.$$

Comprovació. $2(8-3) = 2\cdot 5 = 10$ ✓

Quin camí convé. El segon és més curt aquí perquè el $10$ es divideix exacte per $2$. Si el membre dret fos $11$, dividir donaria $5{,}5$ i seria més còmode treure el parèntesi. Mirar si la divisió surt exacta abans de triar és un hàbit que estalvia decimals innecessaris.

Exercici resolt: dues fraccions amb la incògnita

Resol $\dfrac{x+1}{2} + \dfrac{x}{3} = 3$.

Pas 1 — mcm. El mcm de $2$ i $3$ és $6$.

Pas 2 — multiplica tots els termes per $6$.

$$6\cdot\frac{x+1}{2} = 3(x+1), \qquad 6\cdot\frac{x}{3} = 2x, \qquad 6\cdot 3 = 18.$$$$3(x+1) + 2x = 18.$$

Pas 3 — treu el parèntesi.

$$3x + 3 + 2x = 18.$$

Pas 4 — agrupa i aïlla.

$$5x + 3 = 18 \qquad\Longrightarrow\qquad 5x = 15 \qquad\Longrightarrow\qquad x = 3.$$

Comprovació a l'equació original.

$$\frac{3+1}{2} + \frac{3}{3} = 2 + 1 = 3 \quad\checkmark$$

Els dos controls d'aquest exercici. Primer, el $3$ de la dreta s'ha convertit en $18$. Segon, el factor $3$ multiplica tot el numerador $x+1$, i per això cal el parèntesi: si haguessis escrit $3x+1$, el resultat sortiria $x = 3{,}4$ i la comprovació no quadraria.

Una nota sobre l'elecció del mcm. Aquí podies haver multiplicat per $12$ o per $6\cdot 2 = 12$ en comptes del mcm, i hauria funcionat igual amb números una mica més grans. El mcm no és obligatori: és simplement l'opció més còmoda.

On ho faràs servir

Aquesta tècnica de netejar denominadors multiplicant pel mcm la faràs servir en totes les equacions amb fraccions que vinguin: sistemes, equacions de segon grau amb denominadors, i a batxillerat les equacions racionals i les integrals per descomposició.

Les restriccions de domini, en concret, són el primer contacte amb una idea que serà central més endavant: en qualsevol expressió amb una lletra al denominador, el primer que es fa és determinar quins valors queden exclosos. A les funcions racionals del bloc de funcions, aquests valors són les asímptotes verticals.

I la cura amb el signe davant d'una fracció és un hàbit que no deixarà mai de ser útil, perquè és un dels errors que més es repeteixen a tots els nivells.