Biblioteca de 100 exercicis de 2 tipus diferents, de 10 en 10: els del mateix tipus canvien les dades. Escriu la resposta, comprova-la i, si falla, mira les pistes abans de rendir-te.
Si algun se't resisteix, torna a la teoria d'extrems lliures. I quan et vegis fort, prova el simulacre d'examen: dotze exercicis en 35 minuts, la majoria dels difícils i sense pistes.
0 de 10 encertats
Exercici 1
La funció f(x,y)=x2+y2 té un punt crític a l'origen. Com es classifica?
Pista 1.
La hessiana és constant, amb files (2,0) i (0,2).
Pista 2.
Mira el determinant: positiu decideix pel signe de l'entrada superior esquerra, negatiu vol dir sella.
Com es fa
Pas 1 — la hessiana. Per a una forma quadràtica la hessiana és constant:
H=(2002)
Pas 2 — el determinant.
detH=2⋅2−02=4
Pas 3 — llegir-lo. Com que és positiu, la forma és definida i el signe de l'entrada superior esquerra (2) decideix: mínim local estricte.
Per què és constant aquí. En una forma quadràtica pura, la classificació val a tot arreu, no només a l'origen. Amb una funció general, la hessiana canvia de punt a punt i la conclusió és local.
Compte amb això.
Oblidar elevar al quadrat el terme creuat en calcular el determinant.
Exercici 2
Quin és el valor mínim de f(x)=x2−2x?
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Completa quadrats, o deriva i iguala a zero.
Pista 2.
El vèrtex és a x=−b/(2a)=1.
Com es fa
Mètode 1 — derivar.f′(x)=2x−2, que s'anul·la a
x=1
Com que el coeficient principal 1 és positiu, la paràbola s'obre cap amunt i aquest punt és el mínim global.
Mètode 2 — completar quadrats. Escrivint la funció com (x−1)2−1, es veu directament que el mínim val −1 i s'assoleix al vèrtex.
fmin=−1
Per què el segon mètode és millor. Dona el valor i demostra que és global i demostra que és únic, tot d'una vegada. La derivada sola només dona un candidat.
Compte amb això.
Donar la coordenada del vèrtex en comptes del valor de la funció.
Exercici 3
La funció f(x,y)=x2−y2 té un punt crític a l'origen. Com es classifica?
Pista 1.
La hessiana és constant, amb files (2,0) i (0,−2).
Pista 2.
Mira el determinant: positiu decideix pel signe de l'entrada superior esquerra, negatiu vol dir sella.
Com es fa
Pas 1 — la hessiana. Per a una forma quadràtica la hessiana és constant:
H=(200−2)
Pas 2 — el determinant.
detH=2⋅(−2)−02=−4
Pas 3 — llegir-lo. Com que és negatiu, la forma és indefinida: hi ha direccions on creix i direccions on decreix. És un punt de sella.
Per què és constant aquí. En una forma quadràtica pura, la classificació val a tot arreu, no només a l'origen. Amb una funció general, la hessiana canvia de punt a punt i la conclusió és local.
Compte amb això.
Oblidar elevar al quadrat el terme creuat en calcular el determinant.
Exercici 4
Quin és el valor mínim de f(x)=x2−2x+1?
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Completa quadrats, o deriva i iguala a zero.
Pista 2.
El vèrtex és a x=−b/(2a)=1.
Com es fa
Mètode 1 — derivar.f′(x)=2x−2, que s'anul·la a
x=1
Com que el coeficient principal 1 és positiu, la paràbola s'obre cap amunt i aquest punt és el mínim global.
Mètode 2 — completar quadrats. Escrivint la funció com (x−1)2, es veu directament que el mínim val 0 i s'assoleix al vèrtex.
fmin=0
Per què el segon mètode és millor. Dona el valor i demostra que és global i demostra que és únic, tot d'una vegada. La derivada sola només dona un candidat.
Compte amb això.
Donar la coordenada del vèrtex en comptes del valor de la funció.
Exercici 5
La funció f(x,y)=−x2−y2 té un punt crític a l'origen. Com es classifica?
Pista 1.
La hessiana és constant, amb files (−2,0) i (0,−2).
Pista 2.
Mira el determinant: positiu decideix pel signe de l'entrada superior esquerra, negatiu vol dir sella.
Com es fa
Pas 1 — la hessiana. Per a una forma quadràtica la hessiana és constant:
H=(−200−2)
Pas 2 — el determinant.
detH=−2⋅(−2)−02=4
Pas 3 — llegir-lo. Com que és positiu, la forma és definida i el signe de l'entrada superior esquerra (−2) decideix: màxim local estricte.
Per què és constant aquí. En una forma quadràtica pura, la classificació val a tot arreu, no només a l'origen. Amb una funció general, la hessiana canvia de punt a punt i la conclusió és local.
Compte amb això.
Oblidar elevar al quadrat el terme creuat en calcular el determinant.
Exercici 6
Quin és el valor mínim de f(x)=x2−2x+3?
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Completa quadrats, o deriva i iguala a zero.
Pista 2.
El vèrtex és a x=−b/(2a)=1.
Com es fa
Mètode 1 — derivar.f′(x)=2x−2, que s'anul·la a
x=1
Com que el coeficient principal 1 és positiu, la paràbola s'obre cap amunt i aquest punt és el mínim global.
Mètode 2 — completar quadrats. Escrivint la funció com (x−1)2+2, es veu directament que el mínim val 2 i s'assoleix al vèrtex.
fmin=2
Per què el segon mètode és millor. Dona el valor i demostra que és global i demostra que és únic, tot d'una vegada. La derivada sola només dona un candidat.
Compte amb això.
Donar la coordenada del vèrtex en comptes del valor de la funció.
Exercici 7
La funció f(x,y)=2x2+2xy+2y2 té un punt crític a l'origen. Com es classifica?
Pista 1.
La hessiana és constant, amb files (4,2) i (2,4).
Pista 2.
Mira el determinant: positiu decideix pel signe de l'entrada superior esquerra, negatiu vol dir sella.
Com es fa
Pas 1 — la hessiana. Per a una forma quadràtica la hessiana és constant:
H=(4224)
Pas 2 — el determinant.
detH=4⋅4−22=12
Pas 3 — llegir-lo. Com que és positiu, la forma és definida i el signe de l'entrada superior esquerra (4) decideix: mínim local estricte.
Per què és constant aquí. En una forma quadràtica pura, la classificació val a tot arreu, no només a l'origen. Amb una funció general, la hessiana canvia de punt a punt i la conclusió és local.
Compte amb això.
Oblidar elevar al quadrat el terme creuat en calcular el determinant.
Exercici 8
Quin és el valor mínim de f(x)=x2−2x−2?
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Completa quadrats, o deriva i iguala a zero.
Pista 2.
El vèrtex és a x=−b/(2a)=1.
Com es fa
Mètode 1 — derivar.f′(x)=2x−2, que s'anul·la a
x=1
Com que el coeficient principal 1 és positiu, la paràbola s'obre cap amunt i aquest punt és el mínim global.
Mètode 2 — completar quadrats. Escrivint la funció com (x−1)2−3, es veu directament que el mínim val −3 i s'assoleix al vèrtex.
fmin=−3
Per què el segon mètode és millor. Dona el valor i demostra que és global i demostra que és únic, tot d'una vegada. La derivada sola només dona un candidat.
Compte amb això.
Donar la coordenada del vèrtex en comptes del valor de la funció.
Exercici 9
La funció f(x,y)=x2+4xy+y2 té un punt crític a l'origen. Com es classifica?
Pista 1.
La hessiana és constant, amb files (2,4) i (4,2).
Pista 2.
Mira el determinant: positiu decideix pel signe de l'entrada superior esquerra, negatiu vol dir sella.
Com es fa
Pas 1 — la hessiana. Per a una forma quadràtica la hessiana és constant:
H=(2442)
Pas 2 — el determinant.
detH=2⋅2−42=−12
Pas 3 — llegir-lo. Com que és negatiu, la forma és indefinida: hi ha direccions on creix i direccions on decreix. És un punt de sella.
Per què és constant aquí. En una forma quadràtica pura, la classificació val a tot arreu, no només a l'origen. Amb una funció general, la hessiana canvia de punt a punt i la conclusió és local.
Compte amb això.
Oblidar elevar al quadrat el terme creuat en calcular el determinant.
Exercici 10
Quin és el valor mínim de f(x)=x2−4x?
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Completa quadrats, o deriva i iguala a zero.
Pista 2.
El vèrtex és a x=−b/(2a)=2.
Com es fa
Mètode 1 — derivar.f′(x)=2x−4, que s'anul·la a
x=2
Com que el coeficient principal 1 és positiu, la paràbola s'obre cap amunt i aquest punt és el mínim global.
Mètode 2 — completar quadrats. Escrivint la funció com (x−2)2−4, es veu directament que el mínim val −4 i s'assoleix al vèrtex.
fmin=−4
Per què el segon mètode és millor. Dona el valor i demostra que és global i demostra que és únic, tot d'una vegada. La derivada sola només dona un candidat.
Compte amb això.
Donar la coordenada del vèrtex en comptes del valor de la funció.
Com escriure les respostes. A les integrals pots posar-hi la constant (+ C) o deixar-la: es dona per bona igual. Fes servir ^ per als exponents (x^2), * o res per multiplicar (3x i 3*x valen igual), / per dividir i sqrt( ) per a les arrels. Les funcions s'escriuensin(x), cos(x), ln(x), e^x. No cal que simplifiquis: qualsevol forma equivalent es dona per bona.
Has fallat algun exercici.Repassa'ls abans de continuar: el que has de repetir és justament el que no et surt.
Galetes
Fem servir galetes tècniques (necessàries perquè el lloc funcioni) i, si ens hi dones permís, galetes d'analítica i de publicitat que ens ajuden a mantenir els apunts gratuïts. Pots acceptar-les, rebutjar-les o triar-les una per una. Detall a la política de galetes.