Exercicis d'extrems lliures

Pas 1 — la hessiana. Per a una forma quadràtica la hessiana és constant:

$H = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det H = 2 \cdot 0 - 0^{2} = 0$

Pas 3 — llegir-lo. Com que val zero, la forma és semidefinida i el criteri de segon ordre no decideix. Caldria mirar ordres superiors o estudiar la funció directament.

Per què és constant aquí. En una forma quadràtica pura, la classificació val a tot arreu, no només a l'origen. Amb una funció general, la hessiana canvia de punt a punt i la conclusió és local.

Mètode 1 — derivar. $f'(x) = 2x + 2$, que s'anul·la a

$x = -1$

Com que el coeficient principal $1$ és positiu, la paràbola s'obre cap amunt i aquest punt és el mínim global.

Mètode 2 — completar quadrats. Escrivint la funció com $(x + 1)^{2} + 2$, es veu directament que el mínim val $2$ i s'assoleix al vèrtex.

$f_{\min} = 2$

Per què el segon mètode és millor. Dona el valor i demostra que és global i demostra que és únic, tot d'una vegada. La derivada sola només dona un candidat.

Pas 1 — la hessiana. Per a una forma quadràtica la hessiana és constant:

$H = \begin{pmatrix} 8 & 8 \\ 8 & 2 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det H = 8 \cdot 2 - 8^{2} = -48$

Pas 3 — llegir-lo. Com que és negatiu, la forma és indefinida: hi ha direccions on creix i direccions on decreix. És un punt de sella.

Per què és constant aquí. En una forma quadràtica pura, la classificació val a tot arreu, no només a l'origen. Amb una funció general, la hessiana canvia de punt a punt i la conclusió és local.

Mètode 1 — derivar. $f'(x) = 2x + 2$, que s'anul·la a

$x = -1$

Com que el coeficient principal $1$ és positiu, la paràbola s'obre cap amunt i aquest punt és el mínim global.

Mètode 2 — completar quadrats. Escrivint la funció com $(x + 1)^{2} - 3$, es veu directament que el mínim val $-3$ i s'assoleix al vèrtex.

$f_{\min} = -3$

Per què el segon mètode és millor. Dona el valor i demostra que és global i demostra que és únic, tot d'una vegada. La derivada sola només dona un candidat.

Pas 1 — la hessiana. Per a una forma quadràtica la hessiana és constant:

$H = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det H = 2 \cdot 2 - (-4)^{2} = -12$

Pas 3 — llegir-lo. Com que és negatiu, la forma és indefinida: hi ha direccions on creix i direccions on decreix. És un punt de sella.

Per què és constant aquí. En una forma quadràtica pura, la classificació val a tot arreu, no només a l'origen. Amb una funció general, la hessiana canvia de punt a punt i la conclusió és local.

Mètode 1 — derivar. $f'(x) = 2x + 6$, que s'anul·la a

$x = -3$

Com que el coeficient principal $1$ és positiu, la paràbola s'obre cap amunt i aquest punt és el mínim global.

Mètode 2 — completar quadrats. Escrivint la funció com $(x + 3)^{2} - 9$, es veu directament que el mínim val $-9$ i s'assoleix al vèrtex.

$f_{\min} = -9$

Per què el segon mètode és millor. Dona el valor i demostra que és global i demostra que és únic, tot d'una vegada. La derivada sola només dona un candidat.

Pas 1 — la hessiana. Per a una forma quadràtica la hessiana és constant:

$H = \begin{pmatrix} 10 & 2 \\ 2 & 10 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det H = 10 \cdot 10 - 2^{2} = 96$

Pas 3 — llegir-lo. Com que és positiu, la forma és definida i el signe de l'entrada superior esquerra ($10$) decideix: mínim local estricte.

Per què és constant aquí. En una forma quadràtica pura, la classificació val a tot arreu, no només a l'origen. Amb una funció general, la hessiana canvia de punt a punt i la conclusió és local.

Mètode 1 — derivar. $f'(x) = 2x + 6$, que s'anul·la a

$x = -3$

Com que el coeficient principal $1$ és positiu, la paràbola s'obre cap amunt i aquest punt és el mínim global.

Mètode 2 — completar quadrats. Escrivint la funció com $(x + 3)^{2} - 8$, es veu directament que el mínim val $-8$ i s'assoleix al vèrtex.

$f_{\min} = -8$

Per què el segon mètode és millor. Dona el valor i demostra que és global i demostra que és únic, tot d'una vegada. La derivada sola només dona un candidat.

Pas 1 — la hessiana. Per a una forma quadràtica la hessiana és constant:

$H = \begin{pmatrix} -6 & 2 \\ 2 & -6 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det H = -6 \cdot (-6) - 2^{2} = 32$

Pas 3 — llegir-lo. Com que és positiu, la forma és definida i el signe de l'entrada superior esquerra ($-6$) decideix: màxim local estricte.

Per què és constant aquí. En una forma quadràtica pura, la classificació val a tot arreu, no només a l'origen. Amb una funció general, la hessiana canvia de punt a punt i la conclusió és local.

Mètode 1 — derivar. $f'(x) = 2x + 6$, que s'anul·la a

$x = -3$

Com que el coeficient principal $1$ és positiu, la paràbola s'obre cap amunt i aquest punt és el mínim global.

Mètode 2 — completar quadrats. Escrivint la funció com $(x + 3)^{2} - 6$, es veu directament que el mínim val $-6$ i s'assoleix al vèrtex.

$f_{\min} = -6$

Per què el segon mètode és millor. Dona el valor i demostra que és global i demostra que és únic, tot d'una vegada. La derivada sola només dona un candidat.