Exercicis d'extrems lliures

Mètode 1 — derivar. $f'(x) = 4x - 2$, que s'anul·la a

$x = \frac{1}{2}$

Com que el coeficient principal $2$ és positiu, la paràbola s'obre cap amunt i aquest punt és el mínim global.

Mètode 2 — completar quadrats. Escrivint la funció com $2(x - \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{2}$, es veu directament que el mínim val $- \frac{1}{2}$ i s'assoleix al vèrtex.

$f_{\min} = - \frac{1}{2} \approx -0.5000$

Per què el segon mètode és millor. Dona el valor i demostra que és global i demostra que és únic, tot d'una vegada. La derivada sola només dona un candidat.

Mètode 1 — derivar. $f'(x) = 4x - 2$, que s'anul·la a

$x = \frac{1}{2}$

Com que el coeficient principal $2$ és positiu, la paràbola s'obre cap amunt i aquest punt és el mínim global.

Mètode 2 — completar quadrats. Escrivint la funció com $2(x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{2}$, es veu directament que el mínim val $\frac{1}{2}$ i s'assoleix al vèrtex.

$f_{\min} = \frac{1}{2} \approx 0.5000$

Per què el segon mètode és millor. Dona el valor i demostra que és global i demostra que és únic, tot d'una vegada. La derivada sola només dona un candidat.

Mètode 1 — derivar. $f'(x) = 4x - 2$, que s'anul·la a

$x = \frac{1}{2}$

Com que el coeficient principal $2$ és positiu, la paràbola s'obre cap amunt i aquest punt és el mínim global.

Mètode 2 — completar quadrats. Escrivint la funció com $2(x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{5}{2}$, es veu directament que el mínim val $\frac{5}{2}$ i s'assoleix al vèrtex.

$f_{\min} = \frac{5}{2} \approx 2.5000$

Per què el segon mètode és millor. Dona el valor i demostra que és global i demostra que és únic, tot d'una vegada. La derivada sola només dona un candidat.

Mètode 1 — derivar. $f'(x) = 4x - 2$, que s'anul·la a

$x = \frac{1}{2}$

Com que el coeficient principal $2$ és positiu, la paràbola s'obre cap amunt i aquest punt és el mínim global.

Mètode 2 — completar quadrats. Escrivint la funció com $2(x - \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{2}$, es veu directament que el mínim val $- \frac{5}{2}$ i s'assoleix al vèrtex.

$f_{\min} = - \frac{5}{2} \approx -2.5000$

Per què el segon mètode és millor. Dona el valor i demostra que és global i demostra que és únic, tot d'una vegada. La derivada sola només dona un candidat.

Mètode 1 — derivar. $f'(x) = 4x - 4$, que s'anul·la a

$x = 1$

Com que el coeficient principal $2$ és positiu, la paràbola s'obre cap amunt i aquest punt és el mínim global.

Mètode 2 — completar quadrats. Escrivint la funció com $2(x - 1)^{2} - 2$, es veu directament que el mínim val $-2$ i s'assoleix al vèrtex.

$f_{\min} = -2$

Per què el segon mètode és millor. Dona el valor i demostra que és global i demostra que és únic, tot d'una vegada. La derivada sola només dona un candidat.

Mètode 1 — derivar. $f'(x) = 4x - 4$, que s'anul·la a

$x = 1$

Com que el coeficient principal $2$ és positiu, la paràbola s'obre cap amunt i aquest punt és el mínim global.

Mètode 2 — completar quadrats. Escrivint la funció com $2(x - 1)^{2} - 1$, es veu directament que el mínim val $-1$ i s'assoleix al vèrtex.

$f_{\min} = -1$

Per què el segon mètode és millor. Dona el valor i demostra que és global i demostra que és únic, tot d'una vegada. La derivada sola només dona un candidat.

Mètode 1 — derivar. $f'(x) = 4x - 4$, que s'anul·la a

$x = 1$

Com que el coeficient principal $2$ és positiu, la paràbola s'obre cap amunt i aquest punt és el mínim global.

Mètode 2 — completar quadrats. Escrivint la funció com $2(x - 1)^{2} + 1$, es veu directament que el mínim val $1$ i s'assoleix al vèrtex.

$f_{\min} = 1$

Per què el segon mètode és millor. Dona el valor i demostra que és global i demostra que és únic, tot d'una vegada. La derivada sola només dona un candidat.

Mètode 1 — derivar. $f'(x) = 4x - 4$, que s'anul·la a

$x = 1$

Com que el coeficient principal $2$ és positiu, la paràbola s'obre cap amunt i aquest punt és el mínim global.

Mètode 2 — completar quadrats. Escrivint la funció com $2(x - 1)^{2} - 4$, es veu directament que el mínim val $-4$ i s'assoleix al vèrtex.

$f_{\min} = -4$

Per què el segon mètode és millor. Dona el valor i demostra que és global i demostra que és únic, tot d'una vegada. La derivada sola només dona un candidat.

Mètode 1 — derivar. $f'(x) = 4x + 2$, que s'anul·la a

$x = - \frac{1}{2}$

Com que el coeficient principal $2$ és positiu, la paràbola s'obre cap amunt i aquest punt és el mínim global.

Mètode 2 — completar quadrats. Escrivint la funció com $2(x + \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{2}$, es veu directament que el mínim val $- \frac{1}{2}$ i s'assoleix al vèrtex.

$f_{\min} = - \frac{1}{2} \approx -0.5000$

Per què el segon mètode és millor. Dona el valor i demostra que és global i demostra que és únic, tot d'una vegada. La derivada sola només dona un candidat.

Mètode 1 — derivar. $f'(x) = 4x + 2$, que s'anul·la a

$x = - \frac{1}{2}$

Com que el coeficient principal $2$ és positiu, la paràbola s'obre cap amunt i aquest punt és el mínim global.

Mètode 2 — completar quadrats. Escrivint la funció com $2(x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{2}$, es veu directament que el mínim val $\frac{1}{2}$ i s'assoleix al vèrtex.

$f_{\min} = \frac{1}{2} \approx 0.5000$

Per què el segon mètode és millor. Dona el valor i demostra que és global i demostra que és únic, tot d'una vegada. La derivada sola només dona un candidat.