Simulacre d'examen d'extrems lliures

Pas 1 — la hessiana. Per a una forma quadràtica la hessiana és constant:

$H = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det H = 2 \cdot 2 - 0^{2} = 4$

Pas 3 — llegir-lo. Com que és positiu, la forma és definida i el signe de l'entrada superior esquerra ($2$) decideix: mínim local estricte.

Per què és constant aquí. En una forma quadràtica pura, la classificació val a tot arreu, no només a l'origen. Amb una funció general, la hessiana canvia de punt a punt i la conclusió és local.

Pas 1 — la hessiana. Per a una forma quadràtica la hessiana és constant:

$H = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det H = -2 \cdot (-2) - 0^{2} = 4$

Pas 3 — llegir-lo. Com que és positiu, la forma és definida i el signe de l'entrada superior esquerra ($-2$) decideix: màxim local estricte.

Per què és constant aquí. En una forma quadràtica pura, la classificació val a tot arreu, no només a l'origen. Amb una funció general, la hessiana canvia de punt a punt i la conclusió és local.

Pas 1 — la hessiana. Per a una forma quadràtica la hessiana és constant:

$H = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 6 & 2 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det H = 2 \cdot 2 - 6^{2} = -32$

Pas 3 — llegir-lo. Com que és negatiu, la forma és indefinida: hi ha direccions on creix i direccions on decreix. És un punt de sella.

Per què és constant aquí. En una forma quadràtica pura, la classificació val a tot arreu, no només a l'origen. Amb una funció general, la hessiana canvia de punt a punt i la conclusió és local.

Pas 1 — la hessiana. Per a una forma quadràtica la hessiana és constant:

$H = \begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 0 & -10 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det H = -4 \cdot (-10) - 0^{2} = 40$

Pas 3 — llegir-lo. Com que és positiu, la forma és definida i el signe de l'entrada superior esquerra ($-4$) decideix: màxim local estricte.

Per què és constant aquí. En una forma quadràtica pura, la classificació val a tot arreu, no només a l'origen. Amb una funció general, la hessiana canvia de punt a punt i la conclusió és local.

Pas 1 — la hessiana. Per a una forma quadràtica la hessiana és constant:

$H = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det H = 2 \cdot 0 - 0^{2} = 0$

Pas 3 — llegir-lo. Com que val zero, la forma és semidefinida i el criteri de segon ordre no decideix. Caldria mirar ordres superiors o estudiar la funció directament.

Per què és constant aquí. En una forma quadràtica pura, la classificació val a tot arreu, no només a l'origen. Amb una funció general, la hessiana canvia de punt a punt i la conclusió és local.

Pas 1 — la hessiana. Per a una forma quadràtica la hessiana és constant:

$H = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det H = 2 \cdot 2 - (-4)^{2} = -12$

Pas 3 — llegir-lo. Com que és negatiu, la forma és indefinida: hi ha direccions on creix i direccions on decreix. És un punt de sella.

Per què és constant aquí. En una forma quadràtica pura, la classificació val a tot arreu, no només a l'origen. Amb una funció general, la hessiana canvia de punt a punt i la conclusió és local.

Pas 1 — la hessiana. Per a una forma quadràtica la hessiana és constant:

$H = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 6 & 2 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det H = 4 \cdot 2 - 6^{2} = -28$

Pas 3 — llegir-lo. Com que és negatiu, la forma és indefinida: hi ha direccions on creix i direccions on decreix. És un punt de sella.

Per què és constant aquí. En una forma quadràtica pura, la classificació val a tot arreu, no només a l'origen. Amb una funció general, la hessiana canvia de punt a punt i la conclusió és local.

Pas 1 — la hessiana. Per a una forma quadràtica la hessiana és constant:

$H = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -8 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det H = -2 \cdot (-8) - 2^{2} = 12$

Pas 3 — llegir-lo. Com que és positiu, la forma és definida i el signe de l'entrada superior esquerra ($-2$) decideix: màxim local estricte.

Per què és constant aquí. En una forma quadràtica pura, la classificació val a tot arreu, no només a l'origen. Amb una funció general, la hessiana canvia de punt a punt i la conclusió és local.

Mètode 1 — derivar. $f'(x) = 2x - 2$, que s'anul·la a

$x = 1$

Com que el coeficient principal $1$ és positiu, la paràbola s'obre cap amunt i aquest punt és el mínim global.

Mètode 2 — completar quadrats. Escrivint la funció com $(x - 1)^{2} - 1$, es veu directament que el mínim val $-1$ i s'assoleix al vèrtex.

$f_{\min} = -1$

Per què el segon mètode és millor. Dona el valor i demostra que és global i demostra que és únic, tot d'una vegada. La derivada sola només dona un candidat.

Mètode 1 — derivar. $f'(x) = 4x - 2$, que s'anul·la a

$x = \frac{1}{2}$

Com que el coeficient principal $2$ és positiu, la paràbola s'obre cap amunt i aquest punt és el mínim global.

Mètode 2 — completar quadrats. Escrivint la funció com $2(x - \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{2}$, es veu directament que el mínim val $- \frac{1}{2}$ i s'assoleix al vèrtex.

$f_{\min} = - \frac{1}{2} \approx -0.5000$

Per què el segon mètode és millor. Dona el valor i demostra que és global i demostra que és únic, tot d'una vegada. La derivada sola només dona un candidat.

Mètode 1 — derivar. $f'(x) = 6x - 2$, que s'anul·la a

$x = \frac{1}{3}$

Com que el coeficient principal $3$ és positiu, la paràbola s'obre cap amunt i aquest punt és el mínim global.

Mètode 2 — completar quadrats. Escrivint la funció com $3(x - \frac{1}{3})^{2} - \frac{1}{3}$, es veu directament que el mínim val $- \frac{1}{3}$ i s'assoleix al vèrtex.

$f_{\min} = - \frac{1}{3} \approx -0.3333$

Per què el segon mètode és millor. Dona el valor i demostra que és global i demostra que és únic, tot d'una vegada. La derivada sola només dona un candidat.

Mètode 1 — derivar. $f'(x) = 10x - 2$, que s'anul·la a

$x = \frac{1}{5}$

Com que el coeficient principal $5$ és positiu, la paràbola s'obre cap amunt i aquest punt és el mínim global.

Mètode 2 — completar quadrats. Escrivint la funció com $5(x - \frac{1}{5})^{2} - \frac{1}{5}$, es veu directament que el mínim val $- \frac{1}{5}$ i s'assoleix al vèrtex.

$f_{\min} = - \frac{1}{5} \approx -0.2000$

Per què el segon mètode és millor. Dona el valor i demostra que és global i demostra que és únic, tot d'una vegada. La derivada sola només dona un candidat.