Exercicis d'extrems lliures

Pas 1 — la hessiana. Per a una forma quadràtica la hessiana és constant:

$H = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 6 & 2 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det H = 4 \cdot 2 - 6^{2} = -28$

Pas 3 — llegir-lo. Com que és negatiu, la forma és indefinida: hi ha direccions on creix i direccions on decreix. És un punt de sella.

Per què és constant aquí. En una forma quadràtica pura, la classificació val a tot arreu, no només a l'origen. Amb una funció general, la hessiana canvia de punt a punt i la conclusió és local.

Mètode 1 — derivar. $f'(x) = 2x + 6$, que s'anul·la a

$x = -3$

Com que el coeficient principal $1$ és positiu, la paràbola s'obre cap amunt i aquest punt és el mínim global.

Mètode 2 — completar quadrats. Escrivint la funció com $(x + 3)^{2} - 11$, es veu directament que el mínim val $-11$ i s'assoleix al vèrtex.

$f_{\min} = -11$

Per què el segon mètode és millor. Dona el valor i demostra que és global i demostra que és únic, tot d'una vegada. La derivada sola només dona un candidat.

Pas 1 — la hessiana. Per a una forma quadràtica la hessiana és constant:

$H = \begin{pmatrix} 2 & 8 \\ 8 & 4 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det H = 2 \cdot 4 - 8^{2} = -56$

Pas 3 — llegir-lo. Com que és negatiu, la forma és indefinida: hi ha direccions on creix i direccions on decreix. És un punt de sella.

Per què és constant aquí. En una forma quadràtica pura, la classificació val a tot arreu, no només a l'origen. Amb una funció general, la hessiana canvia de punt a punt i la conclusió és local.

Mètode 1 — derivar. $f'(x) = 2x - 6$, que s'anul·la a

$x = 3$

Com que el coeficient principal $1$ és positiu, la paràbola s'obre cap amunt i aquest punt és el mínim global.

Mètode 2 — completar quadrats. Escrivint la funció com $(x - 3)^{2} - 9$, es veu directament que el mínim val $-9$ i s'assoleix al vèrtex.

$f_{\min} = -9$

Per què el segon mètode és millor. Dona el valor i demostra que és global i demostra que és únic, tot d'una vegada. La derivada sola només dona un candidat.

Pas 1 — la hessiana. Per a una forma quadràtica la hessiana és constant:

$H = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -8 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det H = -2 \cdot (-8) - 2^{2} = 12$

Pas 3 — llegir-lo. Com que és positiu, la forma és definida i el signe de l'entrada superior esquerra ($-2$) decideix: màxim local estricte.

Per què és constant aquí. En una forma quadràtica pura, la classificació val a tot arreu, no només a l'origen. Amb una funció general, la hessiana canvia de punt a punt i la conclusió és local.

Mètode 1 — derivar. $f'(x) = 2x - 6$, que s'anul·la a

$x = 3$

Com que el coeficient principal $1$ és positiu, la paràbola s'obre cap amunt i aquest punt és el mínim global.

Mètode 2 — completar quadrats. Escrivint la funció com $(x - 3)^{2} - 8$, es veu directament que el mínim val $-8$ i s'assoleix al vèrtex.

$f_{\min} = -8$

Per què el segon mètode és millor. Dona el valor i demostra que és global i demostra que és únic, tot d'una vegada. La derivada sola només dona un candidat.

Pas 1 — la hessiana. Per a una forma quadràtica la hessiana és constant:

$H = \begin{pmatrix} 12 & 4 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det H = 12 \cdot 2 - 4^{2} = 8$

Pas 3 — llegir-lo. Com que és positiu, la forma és definida i el signe de l'entrada superior esquerra ($12$) decideix: mínim local estricte.

Per què és constant aquí. En una forma quadràtica pura, la classificació val a tot arreu, no només a l'origen. Amb una funció general, la hessiana canvia de punt a punt i la conclusió és local.

Mètode 1 — derivar. $f'(x) = 2x - 6$, que s'anul·la a

$x = 3$

Com que el coeficient principal $1$ és positiu, la paràbola s'obre cap amunt i aquest punt és el mínim global.

Mètode 2 — completar quadrats. Escrivint la funció com $(x - 3)^{2} - 6$, es veu directament que el mínim val $-6$ i s'assoleix al vèrtex.

$f_{\min} = -6$

Per què el segon mètode és millor. Dona el valor i demostra que és global i demostra que és únic, tot d'una vegada. La derivada sola només dona un candidat.

Pas 1 — la hessiana. Per a una forma quadràtica la hessiana és constant:

$H = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det H = 2 \cdot (-2) - 2^{2} = -8$

Pas 3 — llegir-lo. Com que és negatiu, la forma és indefinida: hi ha direccions on creix i direccions on decreix. És un punt de sella.

Per què és constant aquí. En una forma quadràtica pura, la classificació val a tot arreu, no només a l'origen. Amb una funció general, la hessiana canvia de punt a punt i la conclusió és local.

Mètode 1 — derivar. $f'(x) = 2x - 6$, que s'anul·la a

$x = 3$

Com que el coeficient principal $1$ és positiu, la paràbola s'obre cap amunt i aquest punt és el mínim global.

Mètode 2 — completar quadrats. Escrivint la funció com $(x - 3)^{2} - 11$, es veu directament que el mínim val $-11$ i s'assoleix al vèrtex.

$f_{\min} = -11$

Per què el segon mètode és millor. Dona el valor i demostra que és global i demostra que és únic, tot d'una vegada. La derivada sola només dona un candidat.