Proporcionalitat composta: diversos factors alhora

Quan en un problema hi ha tres o quatre magnituds, la regla de tres composta sol ensenyar-se com una recepta de columnes i fletxes. Aquí ho farem d'una altra manera: escrivint el model. És més lent el primer dia i molt més segur tots els altres, perquè no has de recordar cap regla.

El que has de dominar abans: proporcionalitat directa i inversa.

El mètode: fixa-ho tot menys una cosa

Davant d'un problema amb diverses magnituds, la pregunta que el resol és sempre la mateixa:

Si canvio només aquesta magnitud i deixo totes les altres igual, què li passa al que busco?

Si el canvi fa créixer el que busques, el factor corresponent ha de ser més gran que u. Si el fa minvar, el factor ha de ser més petit que u. Un factor per cada magnitud que canvia, i es multipliquen tots.

Aquest raonament es fa magnitud per magnitud, sense mirar les altres, i això és el que el fa fiable: no has de resoldre el problema sencer de cop.

Escriure el model és encara millor

El camí més segur de tots és escriure la fórmula que relaciona les magnituds. Si $n$ màquines treballen $h$ hores diàries durant $d$ dies i cada màquina produeix $r$ peces per hora, la producció total és

$$Q = r\,n\,h\,d.$$

Amb aquesta fórmula ja no necessites cap regla: aïlles el que et demanen. Si busques els dies,

$$d = \frac{Q}{r\,n\,h}.$$

I la fórmula et diu sola el sentit de cada efecte: $Q$ està a dalt, de manera que més producció demana més dies; $n$ i $h$ estan a baix, de manera que més màquines o més hores diàries fan baixar els dies. No cal decidir res: ja ho diu la posició dins de la fracció.

El preu d'aquest mètode és que has de trobar el rendiment $r$ a partir de les dades conegudes, que és una divisió. El benefici és que deixa el problema sense punts de decisió.

Exercici resolt: cinc màquines en tres hores

Tres màquines fabriquen $120$ peces en $2$ hores. Quantes faran cinc màquines en $3$ hores al mateix ritme?

Troba el rendiment. Les màquina-hores de la primera situació són $3 \cdot 2 = 6$, i amb elles s'han fet $120$ peces:

$$r = \frac{120}{6} = 20 \ \text{peces per màquina-hora}.$$

Aplica el model.

$$Q = r\,n\,h = 20 \cdot 5 \cdot 3 = 300 \ \text{peces}.$$

Comprovació pel camí dels factors. Partint de $120$ peces: més màquines fa pujar la producció (factor $5/3$) i més hores també (factor $3/2$):

$$120 \cdot \frac53 \cdot \frac32 = 120 \cdot 2{,}5 = 300 \quad\checkmark$$

Comprovació de sentit. Hem augmentat tant les màquines com les hores, de manera que la producció havia de pujar bastant. Ha passat de $120$ a $300$: raonable.

Resposta: $300$ peces, sempre que el ritme sigui realment el mateix i les cinc màquines puguin treballar alhora.

Exercici resolt: per què el model pot fallar

En el problema anterior, per què el resultat pot fallar si una persona nova necessita formació?

El supòsit que es trenca. El model multiplicatiu dona per fet que tots els recursos tenen la mateixa productivitat. Si una persona nova produeix menys mentre aprèn, aquest supòsit és fals.

Què passa amb els números. Si de les cinc persones una produeix la meitat durant els primers dies, les persona-hores efectives són menys que les nominals. El model prediu una producció que no s'assoleix, o un nombre de dies que no és suficient.

Com es corregeix. Hi ha dues maneres honestes de tractar-ho:

• Afegir la hipòtesi explícitament. «Suposant que les cinc persones tinguin el mateix rendiment, calen tres dies.» Això deixa clar què s'ha assumit.
• Modelar la diferència. Si l'enunciat et diu que la persona nova rendeix el $60\,\%$, compta-la com $0{,}6$ persones i refés el càlcul.

Hi ha un altre efecte més subtil, que a la pràctica pesa més: formar algú consumeix temps de qui ja sap fer la feina. Afegir una persona pot fer baixar la productivitat de les altres durant uns dies, de manera que el total no només no puja proporcionalment, sinó que pot baixar a curt termini.

La conclusió que es demana. El resultat de $3$ dies és la resposta del model, i el model és raonable; però és una predicció condicionada als seus supòsits, no una certesa. Dir-ho forma part de la resposta.

On ho faràs servir

La proporcionalitat composta és el que hi ha darrere de qualsevol planificació: pressupostos, terminis d'obra, dimensionament de personal, consums d'energia. Sempre que una quantitat depèn de diversos factors que es multipliquen, el raonament és aquest.

A física i a tecnologia la trobaràs en forma de fórmules amb diverses variables, que és exactament el mateix escrit d'una altra manera: la densitat, el cabal, el treball mecànic o la potència són productes i quocients de magnituds, i saber llegir el sentit de cada variable dins la fórmula és la mateixa habilitat que practiques aquí.

I aquesta és, de fet, la raó de fons per preferir el model a la regla de tres: quan arribes a física i et donen una fórmula amb quatre lletres, ningú no t'hi posarà fletxes. Haver-te acostumat a llegir-les tu és el que et permetrà fer-ho sol.