Escales i magnituds relatives: plànols, velocitats i densitats

Les escales i les magnituds relatives tenen una cosa en comú: les unitats fan la meitat de la feina. Si les escrius i les segueixes, els problemes es resolen gairebé sols; si les ignores, apareixen resultats mil vegades més grans o més petits del que toca.

El que has de dominar abans: unitats, raons i potències.

Com es llegeix una escala

Una escala $1:n$ vol dir que una unitat al dibuix correspon a $n$ unitats a la realitat, mesurades amb les mateixes unitats.

A escala $1:200$, un centímetre al plànol són $200$ centímetres de debò, és a dir $2$ metres. A escala $1:25\,000$, un centímetre són $25\,000$ centímetres, és a dir $250$ metres.

El procediment segur és en dos passos: primer multiplica mantenint les unitats del dibuix, i només després converteix a les unitats que et demanen. Fer-ho en ordre invers és la manera habitual d'equivocar-se de factor mil.

Per anar en sentit contrari, de la realitat al dibuix, divideixes per $n$ en comptes de multiplicar.

Longituds, àrees i volums no escalen igual

Aquest és el punt important del tema. Si totes les longituds d'una figura es multipliquen per $k$:

$$\text{longituds} \times k, \qquad \text{àrees} \times k^{2}, \qquad \text{volums} \times k^{3}.$$

Per què. Una àrea és un producte de dues longituds, de manera que si cada longitud es multiplica per $k$, l'àrea es multiplica per $k \cdot k$. Un volum és un producte de tres, i per això surt $k^{3}$.

Mira-ho amb un quadrat de costat $2$: l'àrea és $4$. Si dobles el costat a $4$, l'àrea passa a $16$, que és quatre vegades més, no dues.

Magnituds relatives

Una magnitud relativa és un quocient de dues magnituds, i les seves unitats expliquen la divisió:

• velocitat $=$ distància $:$ temps, en km/h o m/s;
• densitat de població $=$ habitants $:$ superfície, en hab/km²;
• preu unitari $=$ cost $:$ quantitat, en €/kg;
• consum $=$ combustible $:$ distància, en litres per $100$ km.

Per convertir km/h a m/s es multiplica per $1000$ (metres per quilòmetre) i es divideix per $3600$ (segons per hora), cosa que equival a dividir per $3{,}6$. En sentit contrari, es multiplica per $3{,}6$.

La velocitat mitjana és sempre distància total dividida pel temps total. No és la mitjana de les velocitats, i aquesta confusió és la font d'error més freqüent quan un trajecte té trams a velocitats diferents.

Exercici resolt: una paret al plànol

A escala $1:200$, una paret fa $4$ cm al plànol. Quant fa en realitat?

Multiplica mantenint les unitats del plànol.

$$4 \cdot 200 = 800 \ \text{cm}.$$

Converteix a metres.

$$800 \ \text{cm} = 8 \ \text{m}.$$

Comprovació de sentit. Vuit metres és una llargada raonable per a una paret. I es pot comprovar al revés: $8$ m són $800$ cm, que dividits per $200$ donen els $4$ cm del plànol ✓

Un atall que convé entendre, no memoritzar. A escala $1:200$, cada centímetre del plànol són $2$ metres reals, de manera que $4$ cm són $8$ m directament. Aquesta conversió «$1$ cm $= 2$ m» és pràctica per a tot el plànol, però només val per a aquesta escala concreta: si l'escala canvia, s'ha de recalcular.

Exercici resolt: l'àrea real d'una maqueta

Una maqueta a escala $1:50$ té una base de $12$ cm². Quina és l'àrea real?

Identifica el factor correcte. L'escala $1:50$ és un factor de longitud. Per a les àrees, el factor és

$$50^{2} = 2\,500.$$

Calcula.

$$12 \cdot 2\,500 = 30\,000 \ \text{cm}^{2}.$$

Converteix a unitats útils. Com que $1$ m² $= 10\,000$ cm²:

$$30\,000 \ \text{cm}^{2} = 3 \ \text{m}^{2}.$$

Comprovació per un altre camí. Imagina que la base és un rectangle de $3 \times 4$ cm al model. A la realitat faria $150 \times 200$ cm, és a dir $1{,}5 \times 2$ m, i l'àrea seria $3$ m² ✓ El mateix resultat, i aquesta comprovació funciona sigui quina sigui la forma de la base.

L'error que es volia evitar. Si haguessis multiplicat per $50$ en comptes de per $2\,500$, hauries obtingut $600$ cm², és a dir $0{,}06$ m²: una base de sis centímetres quadrats per a un edifici. El resultat és absurd, i per això sempre convé mirar si el número final té sentit físic.

On ho faràs servir

Les escales apareixen a tots els plànols, mapes, maquetes i esquemes tècnics, i el factor quadrat i cúbic és el que explica per què una maqueta pesa molt menys del que semblaria i per què els animals grans tenen les potes proporcionalment més gruixudes que els petits.

Les magnituds relatives són el llenguatge de la física: velocitat, acceleració, densitat, pressió, cabal, potència. Totes són quocients, i totes es resolen amb el mateix hàbit de seguir les unitats.

I al bloc de geometria tornaràs a trobar el factor $k^{2}$ i $k^{3}$ al tema de semblança, aquesta vegada demostrat. Si ara te'l quedes com una cosa que té sentit i no com una fórmula, aquell tema serà molt més curt.