Equacions en derivades parcials: transport, calor, ones i Laplace

Una equació en derivades parcials relaciona una funció de diverses variables amb les seves derivades parcials. El salt respecte de les EDO no és tècnic sinó conceptual: aquí les dades deixen de ser un parell de números i passen a ser funcions senceres, i quines dades calen depèn del tipus d'equació. Posar-ne de més dona un problema sense solució; posar-ne de menys en dona infinites. Aprendre EDP és, en bona part, aprendre a llegir quin tipus tens al davant i quines dades li pertoquen.

Classificació i dades ben posades

Per a una equació de segon ordre en dues variables, mira la part principal $A u_{xx} + 2B u_{xy} + C u_{yy}$ i calcula el discriminant $B^{2} - AC$ en cada punt. Si és negatiu l'equació és el·líptica, si és zero parabòlica i si és positiu hiperbòlica. El factor $2$ davant del terme creuat forma part de la convenció i és fàcil oblidar-lo.

Els tres models canònics són els representants de cada família: l'equació de Laplace $\Delta u = 0$ és el·líptica i descriu estats d'equilibri; l'equació de la calor $u_t = \kappa u_{xx}$ és parabòlica i descriu difusió irreversible; l'equació d'ones $u_{tt} = c^{2}u_{xx}$ és hiperbòlica i descriu propagació amb velocitat finita. El tipus dicta el comportament: la calor suavitza i oblida el passat, les ones conserven i transporten, Laplace no té temps.

Les dades a la frontera tenen noms propis. Les condicions de Dirichlet fixen el valor de la funció a la frontera; les de Neumann fixen la derivada normal, és a dir el flux. En un problema estacionari de Neumann pur, sovint apareix una condició de compatibilitat (el flux total entrant ha de ser nul) i la solució queda determinada només llevat d'una constant additiva. És un exemple típic que el nombre de dades no es pot decidir per intuïció.

Transport i característiques

L'equació més senzilla de totes, $u_t + c\,u_x = 0$, ja ensenya el mecanisme essencial. Segueix una recta $x(t) = \xi + ct$ i deriva el que veus al llarg d'aquesta recta:

$$\frac{d}{dt}u(x(t), t) = u_t + c\,u_x = 0.$$

La solució és constant al llarg d'aquestes rectes, que s'anomenen característiques. Per tant, si al principi el perfil és $u(x, 0) = f(x)$, en qualsevol instant posterior val $u(x,t) = f(x - ct)$: la forma es desplaça sense deformar-se, a velocitat $c$. Si hi ha un terme forçat, en comptes de ser constant al llarg de la característica s'hi acumula la integral del forçament.

Aquesta imatge té una conseqüència pràctica important en dominis limitats: les condicions de contorn només es poden imposar allà on les característiques entren al domini. Si la velocitat és positiva, les dades es donen a l'extrem esquerre; imposar-ne també a la dreta fa el problema incompatible.

La calor en una barra: separació de variables

Considera una barra entre $0$ i $L$, amb els dos extrems mantinguts a temperatura zero, i l'equació $u_t = \kappa u_{xx}$ amb $\kappa > 0$. El mètode de separació de variables consisteix a buscar solucions de la forma $u = X(x)T(t)$. Substituint i dividint,

$$\frac{T'}{\kappa T} = \frac{X''}{X} = -\lambda,$$

on la constant $-\lambda$ apareix perquè un membre només depèn de $t$ i l'altre només de $x$: si són iguals, tots dos són constants. Això trenca l'EDP en dues EDO. El problema espacial $X'' + \lambda X = 0$ amb $X(0) = X(L) = 0$ és un problema de valors propis, i només té solucions no nul·les per a

$$\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2}, \qquad X_n(x) = \sin\frac{n\pi x}{L}.$$

Superposant tots els modes i imposant la dada inicial, arribem a la solució en sèrie:

$$u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n e^{-\kappa (n\pi/L)^{2}t}\sin\frac{n\pi x}{L}, \qquad b_n = \frac{2}{L}\int_0^{L} f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx.$$

Els coeficients són exactament els d'una sèrie de Fourier de sinus, i per això aquest tema i el de Fourier es llegeixen junts. Observa el paper de l'exponencial: com més alt és el mode, més ràpid s'esborra. Per això la difusió suavitza qualsevol dada inicial per lletja que sigui, i per això no es pot integrar cap enrere en el temps de manera estable.

Ones i Laplace

A tota la recta i amb dades suaus $u(x,0) = f(x)$, $u_t(x,0) = g(x)$, l'equació d'ones té la fórmula tancada de d'Alembert:

$$u(x,t) = \frac{f(x-ct) + f(x+ct)}{2} + \frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct} g(s)\,ds.$$

Calen dues dades inicials perquè l'ordre en el temps és dos, igual que en una EDO de segon ordre calien posició i velocitat. La fórmula deixa veure d'un cop d'ull dues coses: la solució en un punt només depèn de les dades dins d'un interval finit (el domini de dependència), i per tant la informació viatja a velocitat $c$ com a màxim; i no hi ha cap amortiment, de manera que les irregularitats de la dada inicial es propaguen sense esborrar-se, al contrari del que passava amb la calor.

En un interval amb extrems fixos els modes espacials són els mateixos sinus que abans, però els factors temporals són oscil·latoris en comptes d'exponencials decreixents: les freqüències són proporcionals a l'arrel dels valors propis. És exactament el motiu pel qual una corda de guitarra sona amb harmònics i una barra calenta no.

Per a Laplace, l'eina bàsica és el principi del màxim: una funció harmònica contínua al tancament d'un domini limitat assoleix el màxim i el mínim a la frontera, llevat que sigui constant. Aplicat a la diferència de dues solucions del mateix problema de Dirichlet, demostra la unicitat en dues línies: la diferència és harmònica, val zero a la frontera i per tant val zero a tot arreu. Compte, però: això demostra unicitat, no existència, que és una qüestió separada i més delicada.

Exercici resolt: calor amb un sol mode

Resol $u_t = 4u_{xx}$ a l'interval de $0$ a $\pi$, amb frontera nul·la i $u(x,0) = 3\sin 2x$.

Amb $L = \pi$, els modes són $\sin(nx)$ amb valor propi $n^{2}$. La dada és exactament $3$ vegades el mode $n = 2$, amb valor propi $4$. El factor temporal és $e^{-\kappa n^{2}t} = e^{-4\cdot 4t} = e^{-16t}$. Per tant

$$u(x,t) = 3e^{-16t}\sin 2x.$$

Comprovació: $u_t = -48e^{-16t}\sin 2x$ i $u_{xx} = -12e^{-16t}\sin 2x$, de manera que $4u_{xx} = -48e^{-16t}\sin 2x$ i coincideixen.

Exercici resolt: d'Alembert amb velocitat inicial

Resol $u_{tt} = u_{xx}$ a tota la recta amb $u(x,0) = 0$ i $u_t(x,0) = 1$ si el punt és dins l'interval de $-1$ a $1$, i zero fora.

Aquí $c = 1$ i $f \equiv 0$, de manera que només queda el terme integral: $u(x,t) = \tfrac12\int_{x-t}^{x+t} g(s)\,ds$, és a dir la meitat de la longitud de la intersecció entre l'interval de $-1$ a $1$ i l'interval que va de $x-t$ a $x+t$. Per a $x = 0$ i $t$ petit, la intersecció té longitud $2t$ i surt $u = t$; per a $t \geq 1$ la intersecció ja és tot l'interval de longitud $2$ i la solució es queda constant a $u = 1$. Un cop l'ona ha passat, el desplaçament és permanent: aquesta és la diferència entre donar velocitat inicial i donar posició inicial.