Simulacre d'examen d'equacions en derivades parcials

Pas 1 — identificar els coeficients. La part principal s'escriu $Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy}$, o sigui que aquí $A = 1$, $2B = 0$ (per tant $B = 0$) i $C = 1$.

Pas 2 — discriminant.

$B^{2} - AC = 0^{2} - 1 \cdot 1 = -1$

Pas 3 — llegir el signe. Negatiu vol dir el·líptica (tipus Laplace, equilibri), zero vol dir parabòlica (tipus calor, difusió) i positiu vol dir hiperbòlica (tipus ones, propagació).

Com que el discriminant val $-1$, l'equació és El·líptica.

El tipus no és una etiqueta decorativa: et diu quines dades necessita el problema i com es comportarà la solució.

Pas 1 — identificar els coeficients. La part principal s'escriu $Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy}$, o sigui que aquí $A = 1$, $2B = 0$ (per tant $B = 0$) i $C = 0$.

Pas 2 — discriminant.

$B^{2} - AC = 0^{2} - 1 \cdot 0 = 0$

Pas 3 — llegir el signe. Negatiu vol dir el·líptica (tipus Laplace, equilibri), zero vol dir parabòlica (tipus calor, difusió) i positiu vol dir hiperbòlica (tipus ones, propagació).

Com que el discriminant val $0$, l'equació és Parabòlica.

El tipus no és una etiqueta decorativa: et diu quines dades necessita el problema i com es comportarà la solució.

Pas 1 — identificar els coeficients. La part principal s'escriu $Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy}$, o sigui que aquí $A = 1$, $2B = 2$ (per tant $B = 1$) i $C = 1$.

Pas 2 — discriminant.

$B^{2} - AC = 1^{2} - 1 \cdot 1 = 0$

Pas 3 — llegir el signe. Negatiu vol dir el·líptica (tipus Laplace, equilibri), zero vol dir parabòlica (tipus calor, difusió) i positiu vol dir hiperbòlica (tipus ones, propagació).

Com que el discriminant val $0$, l'equació és Parabòlica.

El tipus no és una etiqueta decorativa: et diu quines dades necessita el problema i com es comportarà la solució.

Pas 1 — la fórmula de d'Alembert. Amb $f \equiv 0$ només sobreviu la integral:

$u(x,t) = \frac{1}{2\cdot2}\int_{x-2t}^{x+2t} g(s)\,ds$

Pas 2 — l'interval d'integració. A $x = 0$ i $t = \frac{1}{2}$ va de $-1$ a $1$.

Pas 3 — quant en cau dins de $(-1,1)$. La funció $g$ val $1$ només dins d'aquest interval, o sigui que la integral és la longitud de la intersecció: $2$.

Pas 4 — dividir.

$u = \frac{2}{2\cdot2} = 0.5000$

Quan el temps és prou gran, la intersecció ja no creix més i la solució es queda constant: un cop l'ona ha passat, el desplaçament és permanent.

Pas 1 — la fórmula de d'Alembert. Amb $f \equiv 0$ només sobreviu la integral:

$u(x,t) = \frac{1}{2\cdot2}\int_{x-2t}^{x+2t} g(s)\,ds$

Pas 2 — l'interval d'integració. A $x = 0$ i $t = 2$ va de $-4$ a $4$.

Pas 3 — quant en cau dins de $(-1,1)$. La funció $g$ val $1$ només dins d'aquest interval, o sigui que la integral és la longitud de la intersecció: $2$.

Pas 4 — dividir.

$u = \frac{2}{2\cdot2} = 0.5000$

Quan el temps és prou gran, la intersecció ja no creix més i la solució es queda constant: un cop l'ona ha passat, el desplaçament és permanent.

Pas 1 — la fórmula de d'Alembert. Amb $f \equiv 0$ només sobreviu la integral:

$u(x,t) = \frac{1}{2\cdot3}\int_{x-3t}^{x+3t} g(s)\,ds$

Pas 2 — l'interval d'integració. A $x = 0$ i $t = \frac{1}{4}$ va de $- \frac{3}{4}$ a $\frac{3}{4}$.

Pas 3 — quant en cau dins de $(-1,1)$. La funció $g$ val $1$ només dins d'aquest interval, o sigui que la integral és la longitud de la intersecció: $1.5$.

Pas 4 — dividir.

$u = \frac{1.5}{2\cdot3} = 0.2500$

Quan el temps és prou gran, la intersecció ja no creix més i la solució es queda constant: un cop l'ona ha passat, el desplaçament és permanent.

Pas 1 — identificar els coeficients. La part principal s'escriu $Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy}$, o sigui que aquí $A = 1$, $2B = 4$ (per tant $B = 2$) i $C = 4$.

Pas 2 — discriminant.

$B^{2} - AC = 2^{2} - 1 \cdot 4 = 0$

Pas 3 — llegir el signe. Negatiu vol dir el·líptica (tipus Laplace, equilibri), zero vol dir parabòlica (tipus calor, difusió) i positiu vol dir hiperbòlica (tipus ones, propagació).

Com que el discriminant val $0$, l'equació és Parabòlica.

El tipus no és una etiqueta decorativa: et diu quines dades necessita el problema i com es comportarà la solució.

Pas 1 — identificar els coeficients. La part principal s'escriu $Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy}$, o sigui que aquí $A = 1$, $2B = 8$ (per tant $B = 4$) i $C = 3$.

Pas 2 — discriminant.

$B^{2} - AC = 4^{2} - 1 \cdot 3 = 13$

Pas 3 — llegir el signe. Negatiu vol dir el·líptica (tipus Laplace, equilibri), zero vol dir parabòlica (tipus calor, difusió) i positiu vol dir hiperbòlica (tipus ones, propagació).

Com que el discriminant val $13$, l'equació és Hiperbòlica.

El tipus no és una etiqueta decorativa: et diu quines dades necessita el problema i com es comportarà la solució.

Pas 1 — la fórmula. L'equació de transport diu que la solució és constant al llarg de les rectes característiques, i per tant el perfil només es desplaça:

$u(x,t) = f(x - t) = \frac{1}{1 + (x - t)^{2}}$

Pas 2 — l'argument.

$x - t = 4 - 1 \cdot 1 = 3$

Pas 3 — avaluar.

$u = \frac{1}{1 + 3^{2}} = \frac{1}{10} \approx 0.1000$

Fixa't que el perfil no s'ha deformat gens: el transport el mou tal qual, al contrari del que faria l'equació de la calor.

Pas 1 — els modes. Les condicions $X(0) = X(L) = 0$ seleccionen $X_n(x) = \sin(n\pi x/L)$: el sinus ja s'anul·la a l'origen i la condició de l'altre extrem obliga l'argument a ser un múltiple enter de $\pi$.

Pas 2 — substituir. Derivant dues vegades surt un factor $-(n\pi/L)^{2}$, o sigui

$\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2}$

Pas 3 — el cas concret. Amb $n = 2$ i $L = 2$:

$\lambda_{2} = \left(\frac{2\pi}{2}\right)^{2} \approx 9.8696$

Aquests números són els que apareixen a l'exponent de la calor i a la freqüència de les ones.

Pas 1 — els modes. Les condicions $X(0) = X(L) = 0$ seleccionen $X_n(x) = \sin(n\pi x/L)$: el sinus ja s'anul·la a l'origen i la condició de l'altre extrem obliga l'argument a ser un múltiple enter de $\pi$.

Pas 2 — substituir. Derivant dues vegades surt un factor $-(n\pi/L)^{2}$, o sigui

$\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2}$

Pas 3 — el cas concret. Amb $n = 4$ i $L = 3$:

$\lambda_{4} = \left(\frac{4\pi}{3}\right)^{2} \approx 17.5460$

Aquests números són els que apareixen a l'exponent de la calor i a la freqüència de les ones.

Pas 1 — els modes. Les condicions $X(0) = X(L) = 0$ seleccionen $X_n(x) = \sin(n\pi x/L)$: el sinus ja s'anul·la a l'origen i la condició de l'altre extrem obliga l'argument a ser un múltiple enter de $\pi$.

Pas 2 — substituir. Derivant dues vegades surt un factor $-(n\pi/L)^{2}$, o sigui

$\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2}$

Pas 3 — el cas concret. Amb $n = 2$ i $L = 5$:

$\lambda_{2} = \left(\frac{2\pi}{5}\right)^{2} \approx 1.5791$

Aquests números són els que apareixen a l'exponent de la calor i a la freqüència de les ones.