Anells, ideals i quocients: unitats, divisors de zero, primers i maximals
Vols practicar? Aquest tema té 123 exercicis interactius de 2 tipus, de deu en deu, amb correcció immediata i explicació pas a pas.
Un anell té dues operacions en comptes d'una, i això obre tot un ventall de comportaments que en un grup no existien. Poden aparèixer elements no nuls que multiplicats donen zero, elements que no es poden invertir, i subconjuntes que es comporten com si fossin «zero ampliat». Classificar aquests fenòmens és el que fa el tema.
En aquesta pàgina, un anell té unitat i els homomorfismes la preserven.
Unitats, divisors de zero i dominis
Un anell és un grup abelià per a la suma, amb un producte associatiu i les lleis distributives. No s'exigeix que el producte commuti tret que es digui.
Dos conceptes que no són contraris l'un de l'altre:
- Una unitat és un element invertible per al producte.
- Un divisor de zero no nul és un element que, multiplicat per un altre no nul, dona zero.
Un domini d'integritat és un anell commutatiu amb unitat diferent de zero i sense divisors de zero. En un domini es pot cancel·lar un factor no nul, encara que aquell factor no sigui invertible. I un cos és un anell commutatiu on tots els elements no nuls són unitats.
Els tres comportaments, en tres anells
A les classes mòdul : el producte de la classe de per la de és zero, tot i que cap de les dues és zero. Hi ha divisors de zero. Les unitats són exactament les classes de i de , és a dir les coprimeres amb .
Als enters: el no és divisor de zero (el producte de dos enters no nuls no s'anul·la mai), però tampoc és unitat, perquè el seu invers no és enter. És un domini que no és cos.
Als racionals: el sí que té invers. És un cos.
La lliçó. «No ser divisor de zero» i «ser unitat» són dues condicions diferents. Tota unitat és no divisor de zero, però el recíproc falla en qualsevol domini que no sigui cos. En un anell finit, en canvi, les dues coses coincideixen.
Ideals: el que fa possible el quocient
En un anell commutatiu, un ideal és un subgrup additiu amb una propietat addicional d'absorció: multiplicar un element de l'ideal per qualsevol element de l'anell torna a caure dins de l'ideal.
Un subanell no és necessàriament un ideal
Els enters són un subanell dels racionals, però no són un ideal: multiplicar per et treu fora. L'absorció és una exigència molt més forta que ser tancat pel producte.
I és precisament aquesta exigència la que fa que el quocient tingui producte ben definit. Sense absorció, dependria dels representants.
L'ideal generat per uns quants elements és el conjunt de totes les seves combinacions amb coeficients a l'anell. El quocient hereta les dues operacions classe a classe, i el nucli de qualsevol homomorfisme d'anells és un ideal, amb el teorema d'isomorfisme corresponent.
Primers i maximals
En un anell commutatiu amb unitat:
- Un ideal propi és primer si el fet que un producte hi pertanyi obliga algun dels factors a pertànyer-hi.
- Un ideal propi és maximal si no hi ha cap altre ideal propi que el contingui estrictament.
La caracterització pel quocient
Un ideal és primer si i només si el quocient és un domini d'integritat.
Un ideal és maximal si i només si el quocient és un cos.
La primera surt de traduir literalment: que el producte de dues classes sigui zero equival a que el producte dels representants sigui a l'ideal, i l'absència de divisors de zero al quocient és exactament la condició de primer. Que l'ideal sigui propi garanteix que la unitat no és zero al quocient.
Per a la segona, si l'ideal és maximal i prens un element que no hi és, l'ideal generat per tots dos ha de ser tot l'anell; això dona una identitat de la qual es llegeix directament l'invers de la classe.
Com que tot cos és domini, tot ideal maximal és primer. El recíproc és fals, i el contraexemple és molt instructiu: l'ideal nul dels enters és primer (el quocient són els enters, que són domini) però no és maximal (el quocient no és cos).
Exemples estructurals
Als enters, tots els ideals són els múltiples d'un número. Es demostra prenent el menor enter positiu de l'ideal i aplicant la divisió euclidiana: el residu ha de ser zero per minimalitat. Com a conseqüència, el quocient és cos exactament quan el número és primer.
En polinomis sobre un cos, si el polinomi és irreductible, el quocient és un cos. Aquesta construcció és la que permet inventar números nous imposant que una equació tingui solució, i és la base de tot el tema d'extensions.
Construir els complexos com a quocient
Pren els polinomis amb coeficients reals i quocienta per l'ideal generat per .
És irreductible? Sí: no té arrels reals i té grau , de manera que no pot factoritzar-se en dos factors de grau positiu amb coeficients reals.
Per tant el quocient és un cos. Els seus elements són les classes de polinomis, i com que qualsevol polinomi deixa residu de grau com a molt en dividir per , cada classe té un únic representant de la forma .
El producte. La classe de compleix , i amb això el producte de dues classes es calcula com el de dos números complexos.
Conclusió: aquest quocient és el cos dels nombres complexos. No hem hagut de postular cap unitat imaginària: ha aparegut com la classe de en imposar que s'anul·li.
Aquest és el mecanisme general per construir extensions de cossos, i és el que hi ha darrere dels cossos finits.
Com demostrar que un quocient és un cos
Rarament cal fer-ho directament. El camí curt és sempre el mateix: troba un homomorfisme amb aquell nucli i identifica la imatge amb el teorema d'isomorfisme. Si la imatge és un cos conegut, ja has acabat.
Exercici resolt: un ideal maximal de polinomis
És maximal l'ideal generat per dins dels polinomis amb coeficients reals?
Amb el camí curt. Considera l'homomorfisme d'avaluació a zero, que envia cada polinomi al seu terme independent. Preserva sumes i productes i envia la unitat a la unitat.
- El seu nucli són els polinomis sense terme independent, és a dir exactament els múltiples de .
- La seva imatge són tots els reals, perquè els polinomis constants hi arriben.
Pel teorema d'isomorfisme, el quocient és isomorf als reals, que són un cos. Per tant l'ideal és maximal.
I de pas, també és primer, perquè tot maximal ho és. Es pot comprovar directament: si un producte de polinomis no té terme independent, algun dels dos tampoc en té.
Exercici resolt: primer però no maximal
Als polinomis amb coeficients reals en dues variables, l'ideal generat per la primera variable és primer però no maximal. Per què?
És primer. El quocient és isomorf als polinomis en la segona variable sola (avalua la primera a zero). Aquest anell és un domini, perquè el producte de dos polinomis no nuls té grau la suma dels graus i per tant no és nul.
No és maximal. El quocient no és un cos: la segona variable no té invers polinòmic. Alternativament, hi ha un ideal propi que el conté estrictament, el generat per les dues variables.
El quadre. Aquest exemple dona la jerarquia completa: l'ideal nul és primer però no maximal, el generat per una variable el conté i també és primer i no maximal, i el generat per les dues sí que és maximal (el quocient són els reals).
Aquesta cadena de primers reflecteix la dimensió de l'espai, i és el punt de partida de la geometria algebraica.
Ara prova-ho tu. 123 exercicis d'aquest tema, de 2 tipus diferents, per resoldre en línia, de deu en deu: escrius la resposta, te la corregeix a l'instant i, si falles, t'explica com es fa pas a pas. Quan acabis una tanda, en tens deu més, amb dades noves.
Fer els exercicisSimulacre d'examen