Llenguatge algebraic: traduir enunciats i simplificar expressions

L'àlgebra comença quan deixes de treballar només amb números coneguts i poses una lletra al lloc d'una quantitat que no saps, o que pot canviar. Aquest primer tema no té cap tècnica difícil, però sí una idea que condiciona tot el bloc: simplificar no pot canviar el valor de l'expressió.

El que has de dominar abans: la propietat distributiva i les regles de signes.

Què vol dir una lletra

Una lletra pot representar una quantitat desconeguda (la que busques en una equació) o una variable (una quantitat que pot prendre valors diferents).

Hi ha dues convencions d'escriptura que convé tenir clares des del principi:

$$3x \text{ vol dir } 3\cdot x, \qquad x^{2} \text{ vol dir } x\cdot x.$$

El signe de multiplicar entre un número i una lletra no s'escriu mai. Entre dues lletres tampoc: $ab$ és $a$ per $b$.

Valor numèric

Per calcular el valor d'una expressió, se substitueix la lletra pel número entre parèntesis i es respecten les prioritats.

Els parèntesis no són opcionals. Si has de calcular $-x^{2}$ per a $x = -3$, escriu $-(-3)^{2}$, que dona $-9$. Si escrius $-{-3}^{2}$ sense parèntesi, és molt fàcil acabar amb $9$, que és un altre número.

Termes semblants

Dos termes són semblants si tenen la mateixa part literal, amb els mateixos exponents.

$$3x + 5x = 8x \qquad\text{però}\qquad 3x + 5x^{2} \text{ no es pot reduir}.$$

El motiu és el mateix que amb les fraccions de denominadors diferents: només es poden ajuntar coses de la mateixa espècie. Tres $x$ més cinc $x$ són vuit $x$; tres $x$ més cinc $x^{2}$ són dues coses diferents que s'han de deixar escrites per separat.

Expressions equivalents

Dues expressions són equivalents si donen el mateix valor per a tots els valors admesos de les variables.

L'eina que genera equivalències és la distributiva:

$$a(b + c) = ab + ac,$$

que llegida d'esquerra a dreta serveix per treure parèntesis i llegida de dreta a esquerra serveix per extreure factor comú. Totes dues lectures les faràs servir constantment.

Exercici resolt: simplificar i avaluar

Simplifica $2(3x+1) - (x-4)$ i avalua-ho a $x = -1$.

Distribueix. Fixa't que el segon parèntesi té un menys al davant sense número: equival a multiplicar per $-1$, de manera que canvien els dos signes:

$$2(3x+1) = 6x + 2, \qquad -(x-4) = -x + 4.$$

Agrupa.

$$6x + 2 - x + 4 = 5x + 6.$$

Avalua.

$$5(-1) + 6 = -5 + 6 = 1.$$

Comprovació a l'original.

$$2(3(-1)+1) - ((-1)-4) = 2(-2) - (-5) = -4 + 5 = 1 \quad\checkmark$$

L'error que s'evita amb atenció. El pas $-(x-4) = -x+4$ és on es perden més punts de tot el tema. El menys afecta tots els termes de dins, no només el primer. Si escrius $-x-4$, el resultat final surt $5x-2$, que és una expressió diferent.

Exercici resolt: són equivalents?

Són equivalents $2(x+3)$ i $2x+3$? Justifica-ho.

Desenvolupa la primera.

$$2(x+3) = 2x + 6.$$

Compara. Tenim $2x+6$ contra $2x+3$. Els termes en $x$ coincideixen, però els termes constants no: $6$ i $3$ són diferents.

Resposta: no són equivalents.

Justificació amb un contraexemple, que és la manera més curta de demostrar-ho:

$$x = 0: \qquad 2(0+3) = 6, \qquad 2\cdot 0 + 3 = 3.$$

Com que $6 \neq 3$, les dues expressions no poden ser equivalents.

Per què n'hi ha prou amb un sol valor. Ser equivalents vol dir coincidir per a tots els valors. N'hi ha prou amb trobar-ne un que falli per demostrar que no ho són. Aquesta és l'asimetria del concepte, i convé tenir-la clara: un contraexemple demostra la no-equivalència, però cap quantitat de casos favorables no demostra l'equivalència.

D'on ve l'error que l'exercici vol detectar. De distribuir el $2$ només al primer terme del parèntesi. La distributiva diu que el factor multiplica tots els termes de la suma, i per això el $3$ es converteix en $6$.

On ho faràs servir

Tot el bloc d'àlgebra es construeix sobre això. Les equacions es resolen simplificant els dos membres, la factorització és la distributiva llegida al revés, i les identitats notables són productes desenvolupats.

També és la base de les funcions: quan escriguis $f(x) = 2x+3$ i n'hagis de calcular valors, estaràs fent exactament el càlcul de valor numèric d'aquest tema.

I a física i a tecnologia, qualsevol fórmula és una expressió algebraica. Saber-les manipular sense canviar-ne el valor és el que et permetrà aïllar la variable que et demanin en comptes d'haver de buscar una versió de la fórmula ja aïllada.