Exercicis de determinants

Un determinant $2\times 2$ és de les poques coses que es fan directament amb una fórmula:

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

Multipliquem la diagonal principal (de dalt-esquerra a baix-dreta) i li restem el producte de l'altra diagonal:

$(-4)(3) - (-4)(-3) = -12 - 12 = -24$

Vigila els signes quan hi ha números negatius: menys per menys dona més.

Per Sarrus hi ha tres productes que sumen i tres que resten.

Els que sumen (diagonal principal i les seves paral·leles):

$(-2)(0)(-4) + (1)(-1)(2) + (2)(5)(6) = 0 - 2 + 60 = 58$

Els que resten (diagonal secundària i les seves paral·leles):

$(2)(0)(2) + (-2)(-1)(6) + (1)(5)(-4) = 0 + 12 - 20 = -8$

El determinant és la resta dels dos grups:

$58 - (-8) = 66$

Consell: escriu els sis productes en dues columnes abans de sumar. Barrejar-los és l'error més car.

Aquest és l'error clàssic de tot el tema. Multiplicar $2A$ vol dir multiplicar per $2$ cada una de les tres files. I cada fila multiplicada per $2$ multiplica el determinant per $2$.

Com que hi ha $3$ files:

$|2A| = 2^3 \cdot |A| = 8 \cdot 7 = 56$

La fórmula general és $|kA| = k^n|A|$, on $n$ és l'ordre de la matriu.

Pas 1 — el determinant en funció de $a$. Per Sarrus, deixant la $a$ com una lletra qualsevol:

$|M| = a^{3} - 3 a + 2$

Pas 2 — igualar a zero. Factoritzant:

$|M| = \left(a - 1\right)^{2} \left(a + 2\right) = 0$

Pas 3 — resoldre. Les solucions són $a = -2$, $a = 1$. La més gran és $a = 1$.

Aquests valors són importants: són exactament on la matriu deixa de tenir rang màxim i, si ve d'un sistema, on el sistema deixa de ser compatible determinat.

Un determinant $2\times 2$ és de les poques coses que es fan directament amb una fórmula:

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

Multipliquem la diagonal principal (de dalt-esquerra a baix-dreta) i li restem el producte de l'altra diagonal:

$(-4)(-1) - (2)(-5) = 4 - (-10) = 14$

Vigila els signes quan hi ha números negatius: menys per menys dona més.

Per Sarrus hi ha tres productes que sumen i tres que resten.

Els que sumen (diagonal principal i les seves paral·leles):

$(3)(2)(6) + (-3)(-1)(4) + (0)(2)(-3) = 36 + 12 + 0 = 48$

Els que resten (diagonal secundària i les seves paral·leles):

$(0)(2)(4) + (3)(-1)(-3) + (-3)(2)(6) = 0 + 9 - 36 = -27$

El determinant és la resta dels dos grups:

$48 - (-27) = 75$

Consell: escriu els sis productes en dues columnes abans de sumar. Barrejar-los és l'error més car.

Aquest és l'error clàssic de tot el tema. Multiplicar $3A$ vol dir multiplicar per $3$ cada una de les tres files. I cada fila multiplicada per $3$ multiplica el determinant per $3$.

Com que hi ha $3$ files:

$|3A| = 3^3 \cdot |A| = 27 \cdot 7 = 189$

La fórmula general és $|kA| = k^n|A|$, on $n$ és l'ordre de la matriu.

Pas 1 — el determinant en funció de $a$. Per Sarrus, deixant la $a$ com una lletra qualsevol:

$|M| = - a^{2}$

Pas 2 — igualar a zero. Factoritzant:

$|M| = - a^{2} = 0$

Pas 3 — resoldre. Les solucions són $a = 0$. La més gran és $a = 0$.

Aquests valors són importants: són exactament on la matriu deixa de tenir rang màxim i, si ve d'un sistema, on el sistema deixa de ser compatible determinat.

Un determinant $2\times 2$ és de les poques coses que es fan directament amb una fórmula:

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

Multipliquem la diagonal principal (de dalt-esquerra a baix-dreta) i li restem el producte de l'altra diagonal:

$(5)(-2) - (6)(-5) = -10 - (-30) = 20$

Vigila els signes quan hi ha números negatius: menys per menys dona més.

Per Sarrus hi ha tres productes que sumen i tres que resten.

Els que sumen (diagonal principal i les seves paral·leles):

$(-3)(-4)(3) + (5)(2)(-2) + (-4)(-5)(-1) = 36 - 20 - 20 = -4$

Els que resten (diagonal secundària i les seves paral·leles):

$(-4)(-4)(-2) + (-3)(2)(-1) + (5)(-5)(3) = -32 + 6 - 75 = -101$

El determinant és la resta dels dos grups:

$-4 - (-101) = 97$

Consell: escriu els sis productes en dues columnes abans de sumar. Barrejar-los és l'error més car.