Exercicis de determinants

Per Sarrus hi ha tres productes que sumen i tres que resten.

Els que sumen (diagonal principal i les seves paral·leles):

$(-2)(-3)(1) + (0)(-4)(2) + (1)(3)(6) = 6 + 0 + 18 = 24$

Els que resten (diagonal secundària i les seves paral·leles):

$(1)(-3)(2) + (-2)(-4)(6) + (0)(3)(1) = -6 + 48 + 0 = 42$

El determinant és la resta dels dos grups:

$24 - 42 = -18$

Consell: escriu els sis productes en dues columnes abans de sumar. Barrejar-los és l'error més car.

La propietat clau és que el determinant respecta els productes:

$|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$

Com que $A^2 = A \cdot A$:

$|A^2| = |A| \cdot |A| = (-2)(-2) = 4$

Compte: això val per als productes, però no per a les sumes. $|A + B|$ no és $|A| + |B|$ gairebé mai.

Un determinant $2\times 2$ és de les poques coses que es fan directament amb una fórmula:

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

Multipliquem la diagonal principal (de dalt-esquerra a baix-dreta) i li restem el producte de l'altra diagonal:

$(-4)(-2) - (5)(-2) = 8 - (-10) = 18$

Vigila els signes quan hi ha números negatius: menys per menys dona més.

Per Sarrus hi ha tres productes que sumen i tres que resten.

Els que sumen (diagonal principal i les seves paral·leles):

$(2)(5)(4) + (6)(-4)(-4) + (0)(3)(-2) = 40 + 96 + 0 = 136$

Els que resten (diagonal secundària i les seves paral·leles):

$(0)(5)(-4) + (2)(-4)(-2) + (6)(3)(4) = 0 + 16 + 72 = 88$

El determinant és la resta dels dos grups:

$136 - 88 = 48$

Consell: escriu els sis productes en dues columnes abans de sumar. Barrejar-los és l'error més car.

La propietat clau és que el determinant respecta els productes:

$|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$

Com que $A^2 = A \cdot A$:

$|A^2| = |A| \cdot |A| = (8)(8) = 64$

Compte: això val per als productes, però no per a les sumes. $|A + B|$ no és $|A| + |B|$ gairebé mai.

Un determinant $2\times 2$ és de les poques coses que es fan directament amb una fórmula:

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

Multipliquem la diagonal principal (de dalt-esquerra a baix-dreta) i li restem el producte de l'altra diagonal:

$(-1)(-3) - (3)(-4) = 3 - (-12) = 15$

Vigila els signes quan hi ha números negatius: menys per menys dona més.

Per Sarrus hi ha tres productes que sumen i tres que resten.

Els que sumen (diagonal principal i les seves paral·leles):

$(-1)(0)(5) + (-5)(4)(2) + (1)(3)(-2) = 0 - 40 - 6 = -46$

Els que resten (diagonal secundària i les seves paral·leles):

$(1)(0)(2) + (-1)(4)(-2) + (-5)(3)(5) = 0 + 8 - 75 = -67$

El determinant és la resta dels dos grups:

$-46 - (-67) = 21$

Consell: escriu els sis productes en dues columnes abans de sumar. Barrejar-los és l'error més car.

La propietat clau és que el determinant respecta els productes:

$|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$

Com que $A^2 = A \cdot A$:

$|A^2| = |A| \cdot |A| = (11)(11) = 121$

Compte: això val per als productes, però no per a les sumes. $|A + B|$ no és $|A| + |B|$ gairebé mai.

Un determinant $2\times 2$ és de les poques coses que es fan directament amb una fórmula:

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

Multipliquem la diagonal principal (de dalt-esquerra a baix-dreta) i li restem el producte de l'altra diagonal:

$(0)(2) - (-2)(3) = 0 - (-6) = 6$

Vigila els signes quan hi ha números negatius: menys per menys dona més.

Per Sarrus hi ha tres productes que sumen i tres que resten.

Els que sumen (diagonal principal i les seves paral·leles):

$(-1)(3)(6) + (-4)(-4)(5) + (-4)(4)(0) = -18 + 80 + 0 = 62$

Els que resten (diagonal secundària i les seves paral·leles):

$(-4)(3)(5) + (-1)(-4)(0) + (-4)(4)(6) = -60 + 0 - 96 = -156$

El determinant és la resta dels dos grups:

$62 - (-156) = 218$

Consell: escriu els sis productes en dues columnes abans de sumar. Barrejar-los és l'error més car.