Exercicis de determinants

Aquest és l'error clàssic de tot el tema. Multiplicar $3A$ vol dir multiplicar per $3$ cada una de les tres files. I cada fila multiplicada per $3$ multiplica el determinant per $3$.

Com que hi ha $3$ files:

$|3A| = 3^3 \cdot |A| = 27 \cdot 4 = 108$

La fórmula general és $|kA| = k^n|A|$, on $n$ és l'ordre de la matriu.

Un determinant $2\times 2$ és de les poques coses que es fan directament amb una fórmula:

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

Multipliquem la diagonal principal (de dalt-esquerra a baix-dreta) i li restem el producte de l'altra diagonal:

$(6)(-2) - (0)(-2) = -12 - 0 = -12$

Vigila els signes quan hi ha números negatius: menys per menys dona més.

Per Sarrus hi ha tres productes que sumen i tres que resten.

Els que sumen (diagonal principal i les seves paral·leles):

$(4)(-1)(0) + (2)(5)(1) + (-5)(2)(-3) = 0 + 10 + 30 = 40$

Els que resten (diagonal secundària i les seves paral·leles):

$(-5)(-1)(1) + (4)(5)(-3) + (2)(2)(0) = 5 - 60 + 0 = -55$

El determinant és la resta dels dos grups:

$40 - (-55) = 95$

Consell: escriu els sis productes en dues columnes abans de sumar. Barrejar-los és l'error més car.

Aquest és l'error clàssic de tot el tema. Multiplicar $4A$ vol dir multiplicar per $4$ cada una de les tres files. I cada fila multiplicada per $4$ multiplica el determinant per $4$.

Com que hi ha $3$ files:

$|4A| = 4^3 \cdot |A| = 64 \cdot 4 = 256$

La fórmula general és $|kA| = k^n|A|$, on $n$ és l'ordre de la matriu.

Un determinant $2\times 2$ és de les poques coses que es fan directament amb una fórmula:

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

Multipliquem la diagonal principal (de dalt-esquerra a baix-dreta) i li restem el producte de l'altra diagonal:

$(-3)(1) - (3)(-5) = -3 - (-15) = 12$

Vigila els signes quan hi ha números negatius: menys per menys dona més.

Per Sarrus hi ha tres productes que sumen i tres que resten.

Els que sumen (diagonal principal i les seves paral·leles):

$(-3)(-4)(-4) + (2)(-1)(-3) + (2)(2)(4) = -48 + 6 + 16 = -26$

Els que resten (diagonal secundària i les seves paral·leles):

$(2)(-4)(-3) + (-3)(-1)(4) + (2)(2)(-4) = 24 + 12 - 16 = 20$

El determinant és la resta dels dos grups:

$-26 - 20 = -46$

Consell: escriu els sis productes en dues columnes abans de sumar. Barrejar-los és l'error més car.

La propietat clau és que el determinant respecta els productes:

$|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$

Com que $A^2 = A \cdot A$:

$|A^2| = |A| \cdot |A| = (6)(6) = 36$

Compte: això val per als productes, però no per a les sumes. $|A + B|$ no és $|A| + |B|$ gairebé mai.

Un determinant $2\times 2$ és de les poques coses que es fan directament amb una fórmula:

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

Multipliquem la diagonal principal (de dalt-esquerra a baix-dreta) i li restem el producte de l'altra diagonal:

$(2)(5) - (-3)(5) = 10 - (-15) = 25$

Vigila els signes quan hi ha números negatius: menys per menys dona més.

Per Sarrus hi ha tres productes que sumen i tres que resten.

Els que sumen (diagonal principal i les seves paral·leles):

$(3)(3)(-4) + (-5)(3)(-3) + (-1)(3)(-3) = -36 + 45 + 9 = 18$

Els que resten (diagonal secundària i les seves paral·leles):

$(-1)(3)(-3) + (3)(3)(-3) + (-5)(3)(-4) = 9 - 27 + 60 = 42$

El determinant és la resta dels dos grups:

$18 - 42 = -24$

Consell: escriu els sis productes en dues columnes abans de sumar. Barrejar-los és l'error més car.

La propietat clau és que el determinant respecta els productes:

$|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$

Com que $A^2 = A \cdot A$:

$|A^2| = |A| \cdot |A| = (-4)(-4) = 16$

Compte: això val per als productes, però no per a les sumes. $|A + B|$ no és $|A| + |B|$ gairebé mai.