Exercicis de determinants

Un determinant $2\times 2$ és de les poques coses que es fan directament amb una fórmula:

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

Multipliquem la diagonal principal (de dalt-esquerra a baix-dreta) i li restem el producte de l'altra diagonal:

$(6)(5) - (0)(-5) = 30 - 0 = 30$

Vigila els signes quan hi ha números negatius: menys per menys dona més.

Per Sarrus hi ha tres productes que sumen i tres que resten.

Els que sumen (diagonal principal i les seves paral·leles):

$(-4)(-4)(3) + (4)(-2)(-4) + (0)(1)(4) = 48 + 32 + 0 = 80$

Els que resten (diagonal secundària i les seves paral·leles):

$(0)(-4)(-4) + (-4)(-2)(4) + (4)(1)(3) = 0 + 32 + 12 = 44$

El determinant és la resta dels dos grups:

$80 - 44 = 36$

Consell: escriu els sis productes en dues columnes abans de sumar. Barrejar-los és l'error més car.

La propietat clau és que el determinant respecta els productes:

$|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$

Com que $A^2 = A \cdot A$:

$|A^2| = |A| \cdot |A| = (9)(9) = 81$

Compte: això val per als productes, però no per a les sumes. $|A + B|$ no és $|A| + |B|$ gairebé mai.

Un determinant $2\times 2$ és de les poques coses que es fan directament amb una fórmula:

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

Multipliquem la diagonal principal (de dalt-esquerra a baix-dreta) i li restem el producte de l'altra diagonal:

$(1)(4) - (1)(-1) = 4 - (-1) = 5$

Vigila els signes quan hi ha números negatius: menys per menys dona més.

Per Sarrus hi ha tres productes que sumen i tres que resten.

Els que sumen (diagonal principal i les seves paral·leles):

$(2)(5)(2) + (0)(-5)(5) + (-3)(-5)(-4) = 20 + 0 - 60 = -40$

Els que resten (diagonal secundària i les seves paral·leles):

$(-3)(5)(5) + (2)(-5)(-4) + (0)(-5)(2) = -75 + 40 + 0 = -35$

El determinant és la resta dels dos grups:

$-40 - (-35) = -5$

Consell: escriu els sis productes en dues columnes abans de sumar. Barrejar-los és l'error més car.

La propietat clau és que el determinant respecta els productes:

$|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$

Com que $A^2 = A \cdot A$:

$|A^2| = |A| \cdot |A| = (5)(5) = 25$

Compte: això val per als productes, però no per a les sumes. $|A + B|$ no és $|A| + |B|$ gairebé mai.

Un determinant $2\times 2$ és de les poques coses que es fan directament amb una fórmula:

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

Multipliquem la diagonal principal (de dalt-esquerra a baix-dreta) i li restem el producte de l'altra diagonal:

$(3)(-5) - (3)(-4) = -15 - (-12) = -3$

Vigila els signes quan hi ha números negatius: menys per menys dona més.

Per Sarrus hi ha tres productes que sumen i tres que resten.

Els que sumen (diagonal principal i les seves paral·leles):

$(0)(6)(5) + (1)(2)(-4) + (0)(5)(-5) = 0 - 8 + 0 = -8$

Els que resten (diagonal secundària i les seves paral·leles):

$(0)(6)(-4) + (0)(2)(-5) + (1)(5)(5) = 0 + 0 + 25 = 25$

El determinant és la resta dels dos grups:

$-8 - 25 = -33$

Consell: escriu els sis productes en dues columnes abans de sumar. Barrejar-los és l'error més car.

La propietat clau és que el determinant respecta els productes:

$|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$

Com que $A^2 = A \cdot A$:

$|A^2| = |A| \cdot |A| = (3)(3) = 9$

Compte: això val per als productes, però no per a les sumes. $|A + B|$ no és $|A| + |B|$ gairebé mai.

Un determinant $2\times 2$ és de les poques coses que es fan directament amb una fórmula:

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

Multipliquem la diagonal principal (de dalt-esquerra a baix-dreta) i li restem el producte de l'altra diagonal:

$(2)(-1) - (2)(-2) = -2 - (-4) = 2$

Vigila els signes quan hi ha números negatius: menys per menys dona més.