Simulacre d'examen de determinants

Pas 1 — el determinant en funció de $a$. Per Sarrus, deixant la $a$ com una lletra qualsevol:

$|M| = a^{3} - 3 a + 2$

Pas 2 — igualar a zero. Factoritzant:

$|M| = \left(a - 1\right)^{2} \left(a + 2\right) = 0$

Pas 3 — resoldre. Les solucions són $a = -2$, $a = 1$. La més gran és $a = 1$.

Aquests valors són importants: són exactament on la matriu deixa de tenir rang màxim i, si ve d'un sistema, on el sistema deixa de ser compatible determinat.

Pas 1 — el determinant en funció de $a$. Per Sarrus, deixant la $a$ com una lletra qualsevol:

$|M| = - a^{2}$

Pas 2 — igualar a zero. Factoritzant:

$|M| = - a^{2} = 0$

Pas 3 — resoldre. Les solucions són $a = 0$. La més gran és $a = 0$.

Aquests valors són importants: són exactament on la matriu deixa de tenir rang màxim i, si ve d'un sistema, on el sistema deixa de ser compatible determinat.

Un determinant $2\times 2$ és de les poques coses que es fan directament amb una fórmula:

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

Multipliquem la diagonal principal (de dalt-esquerra a baix-dreta) i li restem el producte de l'altra diagonal:

$(-4)(3) - (-4)(-3) = -12 - 12 = -24$

Vigila els signes quan hi ha números negatius: menys per menys dona més.

Per Sarrus hi ha tres productes que sumen i tres que resten.

Els que sumen (diagonal principal i les seves paral·leles):

$(1)(-3)(4) + (4)(-1)(1) + (4)(6)(-1) = -12 - 4 - 24 = -40$

Els que resten (diagonal secundària i les seves paral·leles):

$(4)(-3)(1) + (1)(-1)(-1) + (4)(6)(4) = -12 + 1 + 96 = 85$

El determinant és la resta dels dos grups:

$-40 - 85 = -125$

Consell: escriu els sis productes en dues columnes abans de sumar. Barrejar-los és l'error més car.

Un determinant $2\times 2$ és de les poques coses que es fan directament amb una fórmula:

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

Multipliquem la diagonal principal (de dalt-esquerra a baix-dreta) i li restem el producte de l'altra diagonal:

$(4)(3) - (-2)(0) = 12 - 0 = 12$

Vigila els signes quan hi ha números negatius: menys per menys dona més.

Aquest és l'error clàssic de tot el tema. Multiplicar $3A$ vol dir multiplicar per $3$ cada una de les tres files. I cada fila multiplicada per $3$ multiplica el determinant per $3$.

Com que hi ha $3$ files:

$|3A| = 3^3 \cdot |A| = 27 \cdot 12 = 324$

La fórmula general és $|kA| = k^n|A|$, on $n$ és l'ordre de la matriu.

Per Sarrus hi ha tres productes que sumen i tres que resten.

Els que sumen (diagonal principal i les seves paral·leles):

$(-4)(-1)(-2) + (2)(4)(-4) + (0)(-1)(-1) = -8 - 32 + 0 = -40$

Els que resten (diagonal secundària i les seves paral·leles):

$(0)(-1)(-4) + (-4)(4)(-1) + (2)(-1)(-2) = 0 + 16 + 4 = 20$

El determinant és la resta dels dos grups:

$-40 - 20 = -60$

Consell: escriu els sis productes en dues columnes abans de sumar. Barrejar-los és l'error més car.

Un determinant $2\times 2$ és de les poques coses que es fan directament amb una fórmula:

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

Multipliquem la diagonal principal (de dalt-esquerra a baix-dreta) i li restem el producte de l'altra diagonal:

$(5)(-2) - (0)(0) = -10 - 0 = -10$

Vigila els signes quan hi ha números negatius: menys per menys dona més.

Per Sarrus hi ha tres productes que sumen i tres que resten.

Els que sumen (diagonal principal i les seves paral·leles):

$(0)(5)(-2) + (-5)(-4)(-3) + (0)(5)(0) = 0 - 60 + 0 = -60$

Els que resten (diagonal secundària i les seves paral·leles):

$(0)(5)(-3) + (0)(-4)(0) + (-5)(5)(-2) = 0 + 0 + 50 = 50$

El determinant és la resta dels dos grups:

$-60 - 50 = -110$

Consell: escriu els sis productes en dues columnes abans de sumar. Barrejar-los és l'error més car.

Un determinant $2\times 2$ és de les poques coses que es fan directament amb una fórmula:

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

Multipliquem la diagonal principal (de dalt-esquerra a baix-dreta) i li restem el producte de l'altra diagonal:

$(2)(5) - (-3)(5) = 10 - (-15) = 25$

Vigila els signes quan hi ha números negatius: menys per menys dona més.

La propietat clau és que el determinant respecta els productes:

$|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$

Com que $A^2 = A \cdot A$:

$|A^2| = |A| \cdot |A| = (3)(3) = 9$

Compte: això val per als productes, però no per a les sumes. $|A + B|$ no és $|A| + |B|$ gairebé mai.

Per Sarrus hi ha tres productes que sumen i tres que resten.

Els que sumen (diagonal principal i les seves paral·leles):

$(-1)(3)(6) + (-4)(-4)(5) + (-4)(4)(0) = -18 + 80 + 0 = 62$

Els que resten (diagonal secundària i les seves paral·leles):

$(-4)(3)(5) + (-1)(-4)(0) + (-4)(4)(6) = -60 + 0 - 96 = -156$

El determinant és la resta dels dos grups:

$62 - (-156) = 218$

Consell: escriu els sis productes en dues columnes abans de sumar. Barrejar-los és l'error més car.