Exercicis de determinants

Per Sarrus hi ha tres productes que sumen i tres que resten.

Els que sumen (diagonal principal i les seves paral·leles):

$(5)(-2)(1) + (2)(-2)(-5) + (1)(-1)(-2) = -10 + 20 + 2 = 12$

Els que resten (diagonal secundària i les seves paral·leles):

$(1)(-2)(-5) + (5)(-2)(-2) + (2)(-1)(1) = 10 + 20 - 2 = 28$

El determinant és la resta dels dos grups:

$12 - 28 = -16$

Consell: escriu els sis productes en dues columnes abans de sumar. Barrejar-los és l'error més car.

Aquest és l'error clàssic de tot el tema. Multiplicar $2A$ vol dir multiplicar per $2$ cada una de les tres files. I cada fila multiplicada per $2$ multiplica el determinant per $2$.

Com que hi ha $3$ files:

$|2A| = 2^3 \cdot |A| = 8 \cdot 12 = 96$

La fórmula general és $|kA| = k^n|A|$, on $n$ és l'ordre de la matriu.

Un determinant $2\times 2$ és de les poques coses que es fan directament amb una fórmula:

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

Multipliquem la diagonal principal (de dalt-esquerra a baix-dreta) i li restem el producte de l'altra diagonal:

$(-5)(2) - (-3)(-5) = -10 - 15 = -25$

Vigila els signes quan hi ha números negatius: menys per menys dona més.

Per Sarrus hi ha tres productes que sumen i tres que resten.

Els que sumen (diagonal principal i les seves paral·leles):

$(5)(5)(-4) + (1)(-2)(3) + (5)(-3)(-5) = -100 - 6 + 75 = -31$

Els que resten (diagonal secundària i les seves paral·leles):

$(5)(5)(3) + (5)(-2)(-5) + (1)(-3)(-4) = 75 + 50 + 12 = 137$

El determinant és la resta dels dos grups:

$-31 - 137 = -168$

Consell: escriu els sis productes en dues columnes abans de sumar. Barrejar-los és l'error més car.

Aquest és l'error clàssic de tot el tema. Multiplicar $3A$ vol dir multiplicar per $3$ cada una de les tres files. I cada fila multiplicada per $3$ multiplica el determinant per $3$.

Com que hi ha $3$ files:

$|3A| = 3^3 \cdot |A| = 27 \cdot 12 = 324$

La fórmula general és $|kA| = k^n|A|$, on $n$ és l'ordre de la matriu.

Un determinant $2\times 2$ és de les poques coses que es fan directament amb una fórmula:

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

Multipliquem la diagonal principal (de dalt-esquerra a baix-dreta) i li restem el producte de l'altra diagonal:

$(-1)(3) - (4)(4) = -3 - 16 = -19$

Vigila els signes quan hi ha números negatius: menys per menys dona més.

Per Sarrus hi ha tres productes que sumen i tres que resten.

Els que sumen (diagonal principal i les seves paral·leles):

$(2)(3)(0) + (-1)(3)(-4) + (4)(1)(5) = 0 + 12 + 20 = 32$

Els que resten (diagonal secundària i les seves paral·leles):

$(4)(3)(-4) + (2)(3)(5) + (-1)(1)(0) = -48 + 30 + 0 = -18$

El determinant és la resta dels dos grups:

$32 - (-18) = 50$

Consell: escriu els sis productes en dues columnes abans de sumar. Barrejar-los és l'error més car.

Aquest és l'error clàssic de tot el tema. Multiplicar $4A$ vol dir multiplicar per $4$ cada una de les tres files. I cada fila multiplicada per $4$ multiplica el determinant per $4$.

Com que hi ha $3$ files:

$|4A| = 4^3 \cdot |A| = 64 \cdot 12 = 768$

La fórmula general és $|kA| = k^n|A|$, on $n$ és l'ordre de la matriu.

Un determinant $2\times 2$ és de les poques coses que es fan directament amb una fórmula:

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

Multipliquem la diagonal principal (de dalt-esquerra a baix-dreta) i li restem el producte de l'altra diagonal:

$(2)(-5) - (6)(-5) = -10 - (-30) = 20$

Vigila els signes quan hi ha números negatius: menys per menys dona més.

Per Sarrus hi ha tres productes que sumen i tres que resten.

Els que sumen (diagonal principal i les seves paral·leles):

$(2)(1)(-3) + (0)(1)(0) + (-5)(-3)(-2) = -6 + 0 - 30 = -36$

Els que resten (diagonal secundària i les seves paral·leles):

$(-5)(1)(0) + (2)(1)(-2) + (0)(-3)(-3) = 0 - 4 + 0 = -4$

El determinant és la resta dels dos grups:

$-36 - (-4) = -32$

Consell: escriu els sis productes en dues columnes abans de sumar. Barrejar-los és l'error més car.