Distribucions habituals: quan fer servir cadascuna i amb quines hipòtesis

Aprendre'n les fórmules és la part fàcil i la que menys puntua. El que realment es demana en un examen universitari és triar la distribució correcta a partir d'un enunciat en paraules, cosa que vol dir reconèixer quines hipòtesis descriu l'enunciat i comprovar que es corresponen amb les del model. Una binomial aplicada a assaigs dependents no és una aproximació dolenta: és una resposta equivocada.

Models discrets

Bernoulli amb paràmetre $p$ és l'indicador d'un únic assaig: val $1$ amb probabilitat $p$ i $0$ altrament. Esperança $p$, variància $p(1-p)$. Tot el que ve després es construeix a partir d'aquí.

Binomial amb paràmetres $n$ i $p$ compta els èxits en $n$ assaigs independents i amb la mateixa probabilitat $p$:

$$\mathbb{P}(X = k) = \binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}, \qquad \mathbb{E}X = np, \qquad \operatorname{Var}X = np(1-p).$$

Les dues hipòtesis subratllades són les que es violen contínuament. Si extreus sense reemplaçament, els assaigs no són independents i la llei és una altra.

Geomètrica compta el temps fins al primer èxit. Aquí hi ha una trampa de convenció: si comptes el nombre d'assaigs, el suport comença a $1$, la massa és $(1-p)^{k-1}p$ i l'esperança és $1/p$; si comptes el nombre de fracassos abans del primer èxit, el suport comença a $0$ i l'esperança és $1/p - 1$. Les dues convencions circulen i cal declarar quina fas servir.

Poisson de paràmetre $\lambda > 0$ té massa $e^{-\lambda}\lambda^{k}/k!$ i la propietat característica que la mitjana i la variància coincideixen, totes dues iguals a $\lambda$. Modela recomptes d'esdeveniments que passen de manera independent i a taxa constant. Aquesta condició no és decorativa: no tot recompte és Poisson, i si les dades tenen més variància que mitjana (sobredispersió) el model és inadequat.

Hipergeomètrica és la versió correcta de la binomial quan no hi ha reemplaçament. En una població de $N$ elements dels quals $K$ són èxits, una mostra de mida $n$ dona

$$\mathbb{P}(X = k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}, \qquad \operatorname{Var}X = np(1-p)\frac{N-n}{N-1}, \quad p = \frac{K}{N}.$$

L'esperança és la mateixa que la de la binomial, però la variància porta el factor de correcció per població finita, que sempre és menor o igual que $1$: mostrejar sense reposar redueix la variabilitat. Quan la població és molt més gran que la mostra, el factor tendeix a $1$ i la binomial és una bona aproximació.

Models continus

La uniforme a l'interval de $a$ a $b$ té densitat constant $1/(b-a)$, esperança el punt mig i variància $(b-a)^{2}/12$.

L'exponencial de taxa $\lambda > 0$ té densitat $\lambda e^{-\lambda x}$ per a $x \geq 0$, esperança $1/\lambda$ i variància $1/\lambda^{2}$. La seva propietat distintiva és la manca de memòria:

$$\mathbb{P}(X > s+t \mid X > s) = \mathbb{P}(X > t).$$

Un component que ja ha durat $s$ hores té la mateixa distribució de vida restant que un de nou. Això és raonable per a fallades purament aleatòries i completament fals per a desgast, que és quan cal una Weibull o una gamma.

La normal amb paràmetres $\mu$ i $\sigma^{2}$ té densitat

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\right),$$

i l'estandardització $Z = (X-\mu)/\sigma$ la porta a la normal estàndard, que és com es fan servir les taules. Una propietat clau és que les combinacions lineals de variables conjuntament normals tornen a ser normals. L'adjectiu és imprescindible: hi ha parelles de variables amb marginals normals que no són conjuntament normals, i per a elles la propietat falla.

La gamma de forma $\alpha$ i taxa $\beta$ té esperança $\alpha/\beta$ i variància $\alpha/\beta^{2}$. Generalitza l'exponencial (que és el cas $\alpha = 1$) i apareix com a suma d'exponencials independents de la mateixa taxa.

Les distribucions de la inferència

Aquestes tres no modelen fenòmens: apareixen com a distribucions d'estadístics calculats a partir de mostres normals, i són les que necessitaràs per a intervals de confiança i contrastos.

• Si sumes els quadrats de $\nu$ normals estàndard independents, obtens una khi quadrat amb $\nu$ graus de llibertat.
• Si divideixes una normal estàndard per l'arrel d'una khi quadrat independent dividida pels seus graus de llibertat, obtens una t de Student. Té la mateixa forma de campana que la normal però amb cues més gruixudes, i s'hi acosta quan els graus de llibertat creixen.
• El quocient de dues khi quadrat independents, cadascuna dividida pels seus graus de llibertat, és una F de Fisher. És la que apareix en anàlisi de la variància i en comparació de models.

En els tres casos la independència forma part de les hipòtesis, i no és una formalitat: és el que fa que la construcció funcioni.

Exercici resolt: triar el model

En un lot de $50$ peces n'hi ha $8$ de defectuoses. S'agafen $5$ peces a l'atzar sense reposar. Quina és la probabilitat que n'hi hagi exactament una de defectuosa?

Tria del model. No hi ha reemplaçament i la població ($50$) no és gaire més gran que la mostra ($5$): és hipergeomètrica amb $N = 50$, $K = 8$, $n = 5$.

$$\mathbb{P}(X=1) = \frac{\binom{8}{1}\binom{42}{4}}{\binom{50}{5}} = \frac{8\cdot 111\,930}{2\,118\,760} \approx 0{,}4226.$$

Comparació. Si haguessis fet servir una binomial amb $p = 8/50 = 0{,}16$ obtindries $\binom{5}{1}(0{,}16)(0{,}84)^{4} \approx 0{,}3983$. La diferència és d'uns quatre punts percentuals, prou perquè compti. Com més petita sigui la població respecte de la mostra, més gran és l'error d'usar la binomial.

Exercici resolt: exponencial i manca de memòria

El temps de vida d'un component és exponencial amb mitjana $500$ hores. Un component ja ha funcionat $300$ hores. Quina probabilitat hi ha que arribi a les $800$?

La taxa és $\lambda = 1/500$. La pregunta és $\mathbb{P}(X > 800\mid X > 300)$, i per la manca de memòria això val exactament el mateix que $\mathbb{P}(X > 500)$:

$$\mathbb{P}(X > 500) = e^{-500/500} = e^{-1}\approx 0{,}368.$$

Es pot comprovar directament: el quocient $e^{-800/500}/e^{-300/500} = e^{-1{,}6+0{,}6} = e^{-1}$.

El matís important. Això diu que el component «no envelleix», cosa que per a un component mecànic real és fals. La manca de memòria és una propietat molt forta i cal justificar-la, no assumir-la perquè el model és còmode. Si hi ha desgast, el model adequat és una Weibull o una gamma.

Amb les distribucions al lloc, el pas següent és calcular-ne moments i entendre'n els teoremes límit.