Exercicis de distribució binomial

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{5}{1} = 5$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $1$ èxits en $5$ intents.
• $0.2^{1} = 0.200000$ és la probabilitat dels $1$ èxits.
• $0.8^{4} = 0.409600$ és la dels $4$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 1) = 5 \cdot 0.200000 \cdot 0.409600 \approx 0.4096$

És a dir, un 40.96 %.

A la binomial no hi ha taula com a la normal: «com a molt $1$» vol dir sumar tots els casos possibles des de $0$ fins a $1$.

$P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1)$

Calculant cada terme amb la fórmula $\binom{n}{j}p^j(1-p)^{n-j}$:

$= 0.3277 + 0.4096 \approx 0.7373$

És a dir, un 73.73 %.

Consell: si et demanessin $P(X \ge 1)$ amb $1$ petit, sortiria més a compte calcular $1 - P(X \le 0)$ que sumar molts termes.

La mitjana d'una binomial té una fórmula directíssima:

$\mu = n \cdot p = 10 \cdot 0.2 = 2.0$

I té sentit intuïtiu: si fas $10$ intents i cada un surt bé el 20 % de les vegades, de mitjana n'encertaràs $2.0$.

Per si t'ho demanen, la variància és $\sigma^2 = npq = 10 \cdot 0.2 \cdot 0.8 = 1.6000$, i la desviació típica, la seva arrel: $\sigma \approx 1.2649$.

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{5}{2} = 10$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $2$ èxits en $5$ intents.
• $0.2^{2} = 0.040000$ és la probabilitat dels $2$ èxits.
• $0.8^{3} = 0.512000$ és la dels $3$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 2) = 10 \cdot 0.040000 \cdot 0.512000 \approx 0.2048$

És a dir, un 20.48 %.

A la binomial no hi ha taula com a la normal: «com a molt $2$» vol dir sumar tots els casos possibles des de $0$ fins a $2$.

$P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$

Calculant cada terme amb la fórmula $\binom{n}{j}p^j(1-p)^{n-j}$:

$= 0.3277 + 0.4096 + 0.2048 \approx 0.9421$

És a dir, un 94.21 %.

Consell: si et demanessin $P(X \ge 2)$ amb $2$ petit, sortiria més a compte calcular $1 - P(X \le 1)$ que sumar molts termes.

La mitjana d'una binomial té una fórmula directíssima:

$\mu = n \cdot p = 10 \cdot 0.3 = 3.0$

I té sentit intuïtiu: si fas $10$ intents i cada un surt bé el 30 % de les vegades, de mitjana n'encertaràs $3.0$.

Per si t'ho demanen, la variància és $\sigma^2 = npq = 10 \cdot 0.3 \cdot 0.7 = 2.1000$, i la desviació típica, la seva arrel: $\sigma \approx 1.4491$.

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{5}{3} = 10$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $3$ èxits en $5$ intents.
• $0.2^{3} = 0.008000$ és la probabilitat dels $3$ èxits.
• $0.8^{2} = 0.640000$ és la dels $2$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 3) = 10 \cdot 0.008000 \cdot 0.640000 \approx 0.0512$

És a dir, un 5.12 %.

A la binomial no hi ha taula com a la normal: «com a molt $3$» vol dir sumar tots els casos possibles des de $0$ fins a $3$.

$P(X \le 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)$

Calculant cada terme amb la fórmula $\binom{n}{j}p^j(1-p)^{n-j}$:

$= 0.3277 + 0.4096 + 0.2048 + 0.0512 \approx 0.9933$

És a dir, un 99.33 %.

Consell: si et demanessin $P(X \ge 3)$ amb $3$ petit, sortiria més a compte calcular $1 - P(X \le 2)$ que sumar molts termes.

La mitjana d'una binomial té una fórmula directíssima:

$\mu = n \cdot p = 10 \cdot 0.4 = 4.0$

I té sentit intuïtiu: si fas $10$ intents i cada un surt bé el 40 % de les vegades, de mitjana n'encertaràs $4.0$.

Per si t'ho demanen, la variància és $\sigma^2 = npq = 10 \cdot 0.4 \cdot 0.6 = 2.4000$, i la desviació típica, la seva arrel: $\sigma \approx 1.5492$.

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{5}{4} = 5$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $4$ èxits en $5$ intents.
• $0.2^{4} = 0.001600$ és la probabilitat dels $4$ èxits.
• $0.8^{1} = 0.800000$ és la dels $1$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 4) = 5 \cdot 0.001600 \cdot 0.800000 \approx 0.0064$

És a dir, un 0.64 %.