Exercicis de distribució binomial

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{5}{3} = 10$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $3$ èxits en $5$ intents.
• $0.4^{3} = 0.064000$ és la probabilitat dels $3$ èxits.
• $0.6^{2} = 0.360000$ és la dels $2$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 3) = 10 \cdot 0.064000 \cdot 0.360000 \approx 0.2304$

És a dir, un 23.04 %.

A la binomial no hi ha taula com a la normal: «com a molt $2$» vol dir sumar tots els casos possibles des de $0$ fins a $2$.

$P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$

Calculant cada terme amb la fórmula $\binom{n}{j}p^j(1-p)^{n-j}$:

$= 0.2621 + 0.3932 + 0.2458 \approx 0.9011$

És a dir, un 90.11 %.

Consell: si et demanessin $P(X \ge 2)$ amb $2$ petit, sortiria més a compte calcular $1 - P(X \le 1)$ que sumar molts termes.

La mitjana d'una binomial té una fórmula directíssima:

$\mu = n \cdot p = 40 \cdot 0.2 = 8.0$

I té sentit intuïtiu: si fas $40$ intents i cada un surt bé el 20 % de les vegades, de mitjana n'encertaràs $8.0$.

Per si t'ho demanen, la variància és $\sigma^2 = npq = 40 \cdot 0.2 \cdot 0.8 = 6.4000$, i la desviació típica, la seva arrel: $\sigma \approx 2.5298$.

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{5}{4} = 5$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $4$ èxits en $5$ intents.
• $0.4^{4} = 0.025600$ és la probabilitat dels $4$ èxits.
• $0.6^{1} = 0.600000$ és la dels $1$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 4) = 5 \cdot 0.025600 \cdot 0.600000 \approx 0.0768$

És a dir, un 7.68 %.

A la binomial no hi ha taula com a la normal: «com a molt $3$» vol dir sumar tots els casos possibles des de $0$ fins a $3$.

$P(X \le 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)$

Calculant cada terme amb la fórmula $\binom{n}{j}p^j(1-p)^{n-j}$:

$= 0.2621 + 0.3932 + 0.2458 + 0.0819 \approx 0.9830$

És a dir, un 98.30 %.

Consell: si et demanessin $P(X \ge 3)$ amb $3$ petit, sortiria més a compte calcular $1 - P(X \le 2)$ que sumar molts termes.

La mitjana d'una binomial té una fórmula directíssima:

$\mu = n \cdot p = 40 \cdot 0.3 = 12.0$

I té sentit intuïtiu: si fas $40$ intents i cada un surt bé el 30 % de les vegades, de mitjana n'encertaràs $12.0$.

Per si t'ho demanen, la variància és $\sigma^2 = npq = 40 \cdot 0.3 \cdot 0.7 = 8.4000$, i la desviació típica, la seva arrel: $\sigma \approx 2.8983$.

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{5}{1} = 5$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $1$ èxits en $5$ intents.
• $0.5^{1} = 0.500000$ és la probabilitat dels $1$ èxits.
• $0.5^{4} = 0.062500$ és la dels $4$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 1) = 5 \cdot 0.500000 \cdot 0.062500 \approx 0.1562$

És a dir, un 15.62 %.

A la binomial no hi ha taula com a la normal: «com a molt $1$» vol dir sumar tots els casos possibles des de $0$ fins a $1$.

$P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1)$

Calculant cada terme amb la fórmula $\binom{n}{j}p^j(1-p)^{n-j}$:

$= 0.1176 + 0.3025 \approx 0.4202$

És a dir, un 42.02 %.

Consell: si et demanessin $P(X \ge 1)$ amb $1$ petit, sortiria més a compte calcular $1 - P(X \le 0)$ que sumar molts termes.

La mitjana d'una binomial té una fórmula directíssima:

$\mu = n \cdot p = 40 \cdot 0.4 = 16.0$

I té sentit intuïtiu: si fas $40$ intents i cada un surt bé el 40 % de les vegades, de mitjana n'encertaràs $16.0$.

Per si t'ho demanen, la variància és $\sigma^2 = npq = 40 \cdot 0.4 \cdot 0.6 = 9.6000$, i la desviació típica, la seva arrel: $\sigma \approx 3.0984$.

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{5}{2} = 10$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $2$ èxits en $5$ intents.
• $0.5^{2} = 0.250000$ és la probabilitat dels $2$ èxits.
• $0.5^{3} = 0.125000$ és la dels $3$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 2) = 10 \cdot 0.250000 \cdot 0.125000 \approx 0.3125$

És a dir, un 31.25 %.