Exercicis de distribució binomial

La mitjana d'una binomial té una fórmula directíssima:

$\mu = n \cdot p = 60 \cdot 0.3 = 18.0$

I té sentit intuïtiu: si fas $60$ intents i cada un surt bé el 30 % de les vegades, de mitjana n'encertaràs $18.0$.

Per si t'ho demanen, la variància és $\sigma^2 = npq = 60 \cdot 0.3 \cdot 0.7 = 12.6000$, i la desviació típica, la seva arrel: $\sigma \approx 3.5496$.

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{8}{2} = 28$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $2$ èxits en $8$ intents.
• $0.3^{2} = 0.090000$ és la probabilitat dels $2$ èxits.
• $0.7^{6} = 0.117649$ és la dels $6$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 2) = 28 \cdot 0.090000 \cdot 0.117649 \approx 0.2965$

És a dir, un 29.65 %.

La mitjana d'una binomial té una fórmula directíssima:

$\mu = n \cdot p = 60 \cdot 0.4 = 24.0$

I té sentit intuïtiu: si fas $60$ intents i cada un surt bé el 40 % de les vegades, de mitjana n'encertaràs $24.0$.

Per si t'ho demanen, la variància és $\sigma^2 = npq = 60 \cdot 0.4 \cdot 0.6 = 14.4000$, i la desviació típica, la seva arrel: $\sigma \approx 3.7947$.

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{8}{3} = 56$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $3$ èxits en $8$ intents.
• $0.3^{3} = 0.027000$ és la probabilitat dels $3$ èxits.
• $0.7^{5} = 0.168070$ és la dels $5$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 3) = 56 \cdot 0.027000 \cdot 0.168070 \approx 0.2541$

És a dir, un 25.41 %.

La mitjana d'una binomial té una fórmula directíssima:

$\mu = n \cdot p = 60 \cdot 0.5 = 30.0$

I té sentit intuïtiu: si fas $60$ intents i cada un surt bé el 50 % de les vegades, de mitjana n'encertaràs $30.0$.

Per si t'ho demanen, la variància és $\sigma^2 = npq = 60 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 15$, i la desviació típica, la seva arrel: $\sigma \approx 3.8730$.

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{8}{4} = 70$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $4$ èxits en $8$ intents.
• $0.3^{4} = 0.008100$ és la probabilitat dels $4$ èxits.
• $0.7^{4} = 0.240100$ és la dels $4$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 4) = 70 \cdot 0.008100 \cdot 0.240100 \approx 0.1361$

És a dir, un 13.61 %.

La mitjana d'una binomial té una fórmula directíssima:

$\mu = n \cdot p = 60 \cdot 0.6 = 36.0$

I té sentit intuïtiu: si fas $60$ intents i cada un surt bé el 60 % de les vegades, de mitjana n'encertaràs $36.0$.

Per si t'ho demanen, la variància és $\sigma^2 = npq = 60 \cdot 0.6 \cdot 0.4 = 14.4000$, i la desviació típica, la seva arrel: $\sigma \approx 3.7947$.

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{8}{1} = 8$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $1$ èxits en $8$ intents.
• $0.4^{1} = 0.400000$ és la probabilitat dels $1$ èxits.
• $0.6^{7} = 0.027994$ és la dels $7$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 1) = 8 \cdot 0.400000 \cdot 0.027994 \approx 0.0896$

És a dir, un 8.96 %.

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{8}{2} = 28$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $2$ èxits en $8$ intents.
• $0.4^{2} = 0.160000$ és la probabilitat dels $2$ èxits.
• $0.6^{6} = 0.046656$ és la dels $6$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 2) = 28 \cdot 0.160000 \cdot 0.046656 \approx 0.2090$

És a dir, un 20.90 %.

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{8}{3} = 56$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $3$ èxits en $8$ intents.
• $0.4^{3} = 0.064000$ és la probabilitat dels $3$ èxits.
• $0.6^{5} = 0.077760$ és la dels $5$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 3) = 56 \cdot 0.064000 \cdot 0.077760 \approx 0.2787$

És a dir, un 27.87 %.