Exercicis de distribució binomial

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{6}{1} = 6$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $1$ èxits en $6$ intents.
• $0.3^{1} = 0.300000$ és la probabilitat dels $1$ èxits.
• $0.7^{5} = 0.168070$ és la dels $5$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 1) = 6 \cdot 0.300000 \cdot 0.168070 \approx 0.3025$

És a dir, un 30.25 %.

A la binomial no hi ha taula com a la normal: «com a molt $3$» vol dir sumar tots els casos possibles des de $0$ fins a $3$.

$P(X \le 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)$

Calculant cada terme amb la fórmula $\binom{n}{j}p^j(1-p)^{n-j}$:

$= 0.1678 + 0.3355 + 0.2936 + 0.1468 \approx 0.9437$

És a dir, un 94.37 %.

Consell: si et demanessin $P(X \ge 3)$ amb $3$ petit, sortiria més a compte calcular $1 - P(X \le 2)$ que sumar molts termes.

La mitjana d'una binomial té una fórmula directíssima:

$\mu = n \cdot p = 80 \cdot 0.2 = 16.0$

I té sentit intuïtiu: si fas $80$ intents i cada un surt bé el 20 % de les vegades, de mitjana n'encertaràs $16.0$.

Per si t'ho demanen, la variància és $\sigma^2 = npq = 80 \cdot 0.2 \cdot 0.8 = 12.8000$, i la desviació típica, la seva arrel: $\sigma \approx 3.5777$.

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{6}{2} = 15$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $2$ èxits en $6$ intents.
• $0.3^{2} = 0.090000$ és la probabilitat dels $2$ èxits.
• $0.7^{4} = 0.240100$ és la dels $4$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 2) = 15 \cdot 0.090000 \cdot 0.240100 \approx 0.3241$

És a dir, un 32.41 %.

A la binomial no hi ha taula com a la normal: «com a molt $1$» vol dir sumar tots els casos possibles des de $0$ fins a $1$.

$P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1)$

Calculant cada terme amb la fórmula $\binom{n}{j}p^j(1-p)^{n-j}$:

$= 0.0576 + 0.1977 \approx 0.2553$

És a dir, un 25.53 %.

Consell: si et demanessin $P(X \ge 1)$ amb $1$ petit, sortiria més a compte calcular $1 - P(X \le 0)$ que sumar molts termes.

La mitjana d'una binomial té una fórmula directíssima:

$\mu = n \cdot p = 80 \cdot 0.3 = 24.0$

I té sentit intuïtiu: si fas $80$ intents i cada un surt bé el 30 % de les vegades, de mitjana n'encertaràs $24.0$.

Per si t'ho demanen, la variància és $\sigma^2 = npq = 80 \cdot 0.3 \cdot 0.7 = 16.8000$, i la desviació típica, la seva arrel: $\sigma \approx 4.0988$.

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{6}{3} = 20$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $3$ èxits en $6$ intents.
• $0.3^{3} = 0.027000$ és la probabilitat dels $3$ èxits.
• $0.7^{3} = 0.343000$ és la dels $3$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 3) = 20 \cdot 0.027000 \cdot 0.343000 \approx 0.1852$

És a dir, un 18.52 %.

A la binomial no hi ha taula com a la normal: «com a molt $2$» vol dir sumar tots els casos possibles des de $0$ fins a $2$.

$P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$

Calculant cada terme amb la fórmula $\binom{n}{j}p^j(1-p)^{n-j}$:

$= 0.0576 + 0.1977 + 0.2965 \approx 0.5518$

És a dir, un 55.18 %.

Consell: si et demanessin $P(X \ge 2)$ amb $2$ petit, sortiria més a compte calcular $1 - P(X \le 1)$ que sumar molts termes.

La mitjana d'una binomial té una fórmula directíssima:

$\mu = n \cdot p = 80 \cdot 0.4 = 32.0$

I té sentit intuïtiu: si fas $80$ intents i cada un surt bé el 40 % de les vegades, de mitjana n'encertaràs $32.0$.

Per si t'ho demanen, la variància és $\sigma^2 = npq = 80 \cdot 0.4 \cdot 0.6 = 19.2000$, i la desviació típica, la seva arrel: $\sigma \approx 4.3818$.

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{6}{4} = 15$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $4$ èxits en $6$ intents.
• $0.3^{4} = 0.008100$ és la probabilitat dels $4$ èxits.
• $0.7^{2} = 0.490000$ és la dels $2$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 4) = 15 \cdot 0.008100 \cdot 0.490000 \approx 0.0595$

És a dir, un 5.95 %.