Exercicis de distribució binomial

La mitjana d'una binomial té una fórmula directíssima:

$\mu = n \cdot p = 100 \cdot 0.3 = 30.0$

I té sentit intuïtiu: si fas $100$ intents i cada un surt bé el 30 % de les vegades, de mitjana n'encertaràs $30.0$.

Per si t'ho demanen, la variància és $\sigma^2 = npq = 100 \cdot 0.3 \cdot 0.7 = 21$, i la desviació típica, la seva arrel: $\sigma \approx 4.5826$.

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{6}{4} = 15$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $4$ èxits en $6$ intents.
• $0.4^{4} = 0.025600$ és la probabilitat dels $4$ èxits.
• $0.6^{2} = 0.360000$ és la dels $2$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 4) = 15 \cdot 0.025600 \cdot 0.360000 \approx 0.1382$

És a dir, un 13.82 %.

La mitjana d'una binomial té una fórmula directíssima:

$\mu = n \cdot p = 100 \cdot 0.4 = 40.0$

I té sentit intuïtiu: si fas $100$ intents i cada un surt bé el 40 % de les vegades, de mitjana n'encertaràs $40.0$.

Per si t'ho demanen, la variància és $\sigma^2 = npq = 100 \cdot 0.4 \cdot 0.6 = 24$, i la desviació típica, la seva arrel: $\sigma \approx 4.8990$.

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{6}{1} = 6$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $1$ èxits en $6$ intents.
• $0.5^{1} = 0.500000$ és la probabilitat dels $1$ èxits.
• $0.5^{5} = 0.031250$ és la dels $5$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 1) = 6 \cdot 0.500000 \cdot 0.031250 \approx 0.0938$

És a dir, un 9.38 %.

La mitjana d'una binomial té una fórmula directíssima:

$\mu = n \cdot p = 100 \cdot 0.5 = 50.0$

I té sentit intuïtiu: si fas $100$ intents i cada un surt bé el 50 % de les vegades, de mitjana n'encertaràs $50.0$.

Per si t'ho demanen, la variància és $\sigma^2 = npq = 100 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 25$, i la desviació típica, la seva arrel: $\sigma = 5$.

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{6}{2} = 15$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $2$ èxits en $6$ intents.
• $0.5^{2} = 0.250000$ és la probabilitat dels $2$ èxits.
• $0.5^{4} = 0.062500$ és la dels $4$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 2) = 15 \cdot 0.250000 \cdot 0.062500 \approx 0.2344$

És a dir, un 23.44 %.

La mitjana d'una binomial té una fórmula directíssima:

$\mu = n \cdot p = 100 \cdot 0.6 = 60.0$

I té sentit intuïtiu: si fas $100$ intents i cada un surt bé el 60 % de les vegades, de mitjana n'encertaràs $60.0$.

Per si t'ho demanen, la variància és $\sigma^2 = npq = 100 \cdot 0.6 \cdot 0.4 = 24$, i la desviació típica, la seva arrel: $\sigma \approx 4.8990$.

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{6}{3} = 20$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $3$ èxits en $6$ intents.
• $0.5^{3} = 0.125000$ és la probabilitat dels $3$ èxits.
• $0.5^{3} = 0.125000$ és la dels $3$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 3) = 20 \cdot 0.125000 \cdot 0.125000 \approx 0.3125$

És a dir, un 31.25 %.

La mitjana d'una binomial té una fórmula directíssima:

$\mu = n \cdot p = 25 \cdot 0.2 = 5.0$

I té sentit intuïtiu: si fas $25$ intents i cada un surt bé el 20 % de les vegades, de mitjana n'encertaràs $5.0$.

Per si t'ho demanen, la variància és $\sigma^2 = npq = 25 \cdot 0.2 \cdot 0.8 = 4$, i la desviació típica, la seva arrel: $\sigma = 2$.

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{6}{4} = 15$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $4$ èxits en $6$ intents.
• $0.5^{4} = 0.062500$ és la probabilitat dels $4$ èxits.
• $0.5^{2} = 0.250000$ és la dels $2$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 4) = 15 \cdot 0.062500 \cdot 0.250000 \approx 0.2344$

És a dir, un 23.44 %.