Exercicis de distribució binomial

La mitjana d'una binomial té una fórmula directíssima:

$\mu = n \cdot p = 25 \cdot 0.3 = 7.5$

I té sentit intuïtiu: si fas $25$ intents i cada un surt bé el 30 % de les vegades, de mitjana n'encertaràs $7.5$.

Per si t'ho demanen, la variància és $\sigma^2 = npq = 25 \cdot 0.3 \cdot 0.7 = 5.2500$, i la desviació típica, la seva arrel: $\sigma \approx 2.2913$.

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{8}{1} = 8$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $1$ èxits en $8$ intents.
• $0.2^{1} = 0.200000$ és la probabilitat dels $1$ èxits.
• $0.8^{7} = 0.209715$ és la dels $7$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 1) = 8 \cdot 0.200000 \cdot 0.209715 \approx 0.3355$

És a dir, un 33.55 %.

La mitjana d'una binomial té una fórmula directíssima:

$\mu = n \cdot p = 25 \cdot 0.4 = 10.0$

I té sentit intuïtiu: si fas $25$ intents i cada un surt bé el 40 % de les vegades, de mitjana n'encertaràs $10.0$.

Per si t'ho demanen, la variància és $\sigma^2 = npq = 25 \cdot 0.4 \cdot 0.6 = 6$, i la desviació típica, la seva arrel: $\sigma \approx 2.4495$.

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{8}{2} = 28$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $2$ èxits en $8$ intents.
• $0.2^{2} = 0.040000$ és la probabilitat dels $2$ èxits.
• $0.8^{6} = 0.262144$ és la dels $6$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 2) = 28 \cdot 0.040000 \cdot 0.262144 \approx 0.2936$

És a dir, un 29.36 %.

La mitjana d'una binomial té una fórmula directíssima:

$\mu = n \cdot p = 25 \cdot 0.5 = 12.5$

I té sentit intuïtiu: si fas $25$ intents i cada un surt bé el 50 % de les vegades, de mitjana n'encertaràs $12.5$.

Per si t'ho demanen, la variància és $\sigma^2 = npq = 25 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 6.2500$, i la desviació típica, la seva arrel: $\sigma \approx 2.5000$.

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{8}{3} = 56$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $3$ èxits en $8$ intents.
• $0.2^{3} = 0.008000$ és la probabilitat dels $3$ èxits.
• $0.8^{5} = 0.327680$ és la dels $5$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 3) = 56 \cdot 0.008000 \cdot 0.327680 \approx 0.1468$

És a dir, un 14.68 %.

La mitjana d'una binomial té una fórmula directíssima:

$\mu = n \cdot p = 25 \cdot 0.6 = 15.0$

I té sentit intuïtiu: si fas $25$ intents i cada un surt bé el 60 % de les vegades, de mitjana n'encertaràs $15.0$.

Per si t'ho demanen, la variància és $\sigma^2 = npq = 25 \cdot 0.6 \cdot 0.4 = 6$, i la desviació típica, la seva arrel: $\sigma \approx 2.4495$.

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{8}{4} = 70$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $4$ èxits en $8$ intents.
• $0.2^{4} = 0.001600$ és la probabilitat dels $4$ èxits.
• $0.8^{4} = 0.409600$ és la dels $4$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 4) = 70 \cdot 0.001600 \cdot 0.409600 \approx 0.0459$

És a dir, un 4.59 %.

La mitjana d'una binomial té una fórmula directíssima:

$\mu = n \cdot p = 60 \cdot 0.2 = 12.0$

I té sentit intuïtiu: si fas $60$ intents i cada un surt bé el 20 % de les vegades, de mitjana n'encertaràs $12.0$.

Per si t'ho demanen, la variància és $\sigma^2 = npq = 60 \cdot 0.2 \cdot 0.8 = 9.6000$, i la desviació típica, la seva arrel: $\sigma \approx 3.0984$.

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{8}{1} = 8$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $1$ èxits en $8$ intents.
• $0.3^{1} = 0.300000$ és la probabilitat dels $1$ èxits.
• $0.7^{7} = 0.082354$ és la dels $7$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 1) = 8 \cdot 0.300000 \cdot 0.082354 \approx 0.1977$

És a dir, un 19.77 %.