Exercicis de distribució binomial

La mitjana d'una binomial té una fórmula directíssima:

$\mu = n \cdot p = 50 \cdot 0.3 = 15.0$

I té sentit intuïtiu: si fas $50$ intents i cada un surt bé el 30 % de les vegades, de mitjana n'encertaràs $15.0$.

Per si t'ho demanen, la variància és $\sigma^2 = npq = 50 \cdot 0.3 \cdot 0.7 = 10.5000$, i la desviació típica, la seva arrel: $\sigma \approx 3.2404$.

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{6}{2} = 15$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $2$ èxits en $6$ intents.
• $0.2^{2} = 0.040000$ és la probabilitat dels $2$ èxits.
• $0.8^{4} = 0.409600$ és la dels $4$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 2) = 15 \cdot 0.040000 \cdot 0.409600 \approx 0.2458$

És a dir, un 24.58 %.

A la binomial no hi ha taula com a la normal: «com a molt $3$» vol dir sumar tots els casos possibles des de $0$ fins a $3$.

$P(X \le 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)$

Calculant cada terme amb la fórmula $\binom{n}{j}p^j(1-p)^{n-j}$:

$= 0.0156 + 0.0938 + 0.2344 + 0.3125 \approx 0.6562$

És a dir, un 65.62 %.

Consell: si et demanessin $P(X \ge 3)$ amb $3$ petit, sortiria més a compte calcular $1 - P(X \le 2)$ que sumar molts termes.

La mitjana d'una binomial té una fórmula directíssima:

$\mu = n \cdot p = 50 \cdot 0.4 = 20.0$

I té sentit intuïtiu: si fas $50$ intents i cada un surt bé el 40 % de les vegades, de mitjana n'encertaràs $20.0$.

Per si t'ho demanen, la variància és $\sigma^2 = npq = 50 \cdot 0.4 \cdot 0.6 = 12$, i la desviació típica, la seva arrel: $\sigma \approx 3.4641$.

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{6}{3} = 20$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $3$ èxits en $6$ intents.
• $0.2^{3} = 0.008000$ és la probabilitat dels $3$ èxits.
• $0.8^{3} = 0.512000$ és la dels $3$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 3) = 20 \cdot 0.008000 \cdot 0.512000 \approx 0.0819$

És a dir, un 8.19 %.

A la binomial no hi ha taula com a la normal: «com a molt $1$» vol dir sumar tots els casos possibles des de $0$ fins a $1$.

$P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1)$

Calculant cada terme amb la fórmula $\binom{n}{j}p^j(1-p)^{n-j}$:

$= 0.1678 + 0.3355 \approx 0.5033$

És a dir, un 50.33 %.

Consell: si et demanessin $P(X \ge 1)$ amb $1$ petit, sortiria més a compte calcular $1 - P(X \le 0)$ que sumar molts termes.

La mitjana d'una binomial té una fórmula directíssima:

$\mu = n \cdot p = 50 \cdot 0.5 = 25.0$

I té sentit intuïtiu: si fas $50$ intents i cada un surt bé el 50 % de les vegades, de mitjana n'encertaràs $25.0$.

Per si t'ho demanen, la variància és $\sigma^2 = npq = 50 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 12.5000$, i la desviació típica, la seva arrel: $\sigma \approx 3.5355$.

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{6}{4} = 15$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $4$ èxits en $6$ intents.
• $0.2^{4} = 0.001600$ és la probabilitat dels $4$ èxits.
• $0.8^{2} = 0.640000$ és la dels $2$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 4) = 15 \cdot 0.001600 \cdot 0.640000 \approx 0.0154$

És a dir, un 1.54 %.

A la binomial no hi ha taula com a la normal: «com a molt $2$» vol dir sumar tots els casos possibles des de $0$ fins a $2$.

$P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$

Calculant cada terme amb la fórmula $\binom{n}{j}p^j(1-p)^{n-j}$:

$= 0.1678 + 0.3355 + 0.2936 \approx 0.7969$

És a dir, un 79.69 %.

Consell: si et demanessin $P(X \ge 2)$ amb $2$ petit, sortiria més a compte calcular $1 - P(X \le 1)$ que sumar molts termes.

La mitjana d'una binomial té una fórmula directíssima:

$\mu = n \cdot p = 50 \cdot 0.6 = 30.0$

I té sentit intuïtiu: si fas $50$ intents i cada un surt bé el 60 % de les vegades, de mitjana n'encertaràs $30.0$.

Per si t'ho demanen, la variància és $\sigma^2 = npq = 50 \cdot 0.6 \cdot 0.4 = 12$, i la desviació típica, la seva arrel: $\sigma \approx 3.4641$.