Exercicis de distribució binomial

La mitjana d'una binomial té una fórmula directíssima:

$\mu = n \cdot p = 20 \cdot 0.3 = 6.0$

I té sentit intuïtiu: si fas $20$ intents i cada un surt bé el 30 % de les vegades, de mitjana n'encertaràs $6.0$.

Per si t'ho demanen, la variància és $\sigma^2 = npq = 20 \cdot 0.3 \cdot 0.7 = 4.2000$, i la desviació típica, la seva arrel: $\sigma \approx 2.0494$.

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{5}{4} = 5$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $4$ èxits en $5$ intents.
• $0.3^{4} = 0.008100$ és la probabilitat dels $4$ èxits.
• $0.7^{1} = 0.700000$ és la dels $1$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 4) = 5 \cdot 0.008100 \cdot 0.700000 \approx 0.0284$

És a dir, un 2.83 %.

A la binomial no hi ha taula com a la normal: «com a molt $2$» vol dir sumar tots els casos possibles des de $0$ fins a $2$.

$P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$

Calculant cada terme amb la fórmula $\binom{n}{j}p^j(1-p)^{n-j}$:

$= 0.0312 + 0.1562 + 0.3125 \approx 0.5000$

És a dir, un 50.00 %.

Consell: si et demanessin $P(X \ge 2)$ amb $2$ petit, sortiria més a compte calcular $1 - P(X \le 1)$ que sumar molts termes.

La mitjana d'una binomial té una fórmula directíssima:

$\mu = n \cdot p = 20 \cdot 0.4 = 8.0$

I té sentit intuïtiu: si fas $20$ intents i cada un surt bé el 40 % de les vegades, de mitjana n'encertaràs $8.0$.

Per si t'ho demanen, la variància és $\sigma^2 = npq = 20 \cdot 0.4 \cdot 0.6 = 4.8000$, i la desviació típica, la seva arrel: $\sigma \approx 2.1909$.

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{5}{1} = 5$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $1$ èxits en $5$ intents.
• $0.4^{1} = 0.400000$ és la probabilitat dels $1$ èxits.
• $0.6^{4} = 0.129600$ és la dels $4$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 1) = 5 \cdot 0.400000 \cdot 0.129600 \approx 0.2592$

És a dir, un 25.92 %.

A la binomial no hi ha taula com a la normal: «com a molt $3$» vol dir sumar tots els casos possibles des de $0$ fins a $3$.

$P(X \le 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)$

Calculant cada terme amb la fórmula $\binom{n}{j}p^j(1-p)^{n-j}$:

$= 0.0312 + 0.1562 + 0.3125 + 0.3125 \approx 0.8125$

És a dir, un 81.25 %.

Consell: si et demanessin $P(X \ge 3)$ amb $3$ petit, sortiria més a compte calcular $1 - P(X \le 2)$ que sumar molts termes.

La mitjana d'una binomial té una fórmula directíssima:

$\mu = n \cdot p = 20 \cdot 0.5 = 10.0$

I té sentit intuïtiu: si fas $20$ intents i cada un surt bé el 50 % de les vegades, de mitjana n'encertaràs $10.0$.

Per si t'ho demanen, la variància és $\sigma^2 = npq = 20 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 5$, i la desviació típica, la seva arrel: $\sigma \approx 2.2361$.

La fórmula de la binomial és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Cada tros té el seu significat:

• $\binom{5}{2} = 10$ són les maneres diferents que hi ha que passin exactament $2$ èxits en $5$ intents.
• $0.4^{2} = 0.160000$ és la probabilitat dels $2$ èxits.
• $0.6^{3} = 0.216000$ és la dels $3$ fracassos.

Multiplicant-ho tot:

$P(X = 2) = 10 \cdot 0.160000 \cdot 0.216000 \approx 0.3456$

És a dir, un 34.56 %.

A la binomial no hi ha taula com a la normal: «com a molt $1$» vol dir sumar tots els casos possibles des de $0$ fins a $1$.

$P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1)$

Calculant cada terme amb la fórmula $\binom{n}{j}p^j(1-p)^{n-j}$:

$= 0.2621 + 0.3932 \approx 0.6554$

És a dir, un 65.54 %.

Consell: si et demanessin $P(X \ge 1)$ amb $1$ petit, sortiria més a compte calcular $1 - P(X \le 0)$ que sumar molts termes.

La mitjana d'una binomial té una fórmula directíssima:

$\mu = n \cdot p = 20 \cdot 0.6 = 12.0$

I té sentit intuïtiu: si fas $20$ intents i cada un surt bé el 60 % de les vegades, de mitjana n'encertaràs $12.0$.

Per si t'ho demanen, la variància és $\sigma^2 = npq = 20 \cdot 0.6 \cdot 0.4 = 4.8000$, i la desviació típica, la seva arrel: $\sigma \approx 2.1909$.