Existència i unicitat: Picard-Lindelöf, interval maximal i dependència contínua

Fins ara has resolt equacions donant per fet que la resposta existeix i que és l'única. Aquest capítol pregunta per què això és cert i, sobretot, quan deixa de ser-ho. No és una qüestió purament teòrica: en modelització, si un problema té diverses solucions vol dir que el model està mal plantejat, i si la solució explota en temps finit vol dir que el model deixa de ser vàlid abans del que sembla. Un càlcul numèric que no s'hagi fet aquestes preguntes pot estar aproximant molt bé una cosa que no existeix.

La formulació integral

El punt de partida és una reescriptura. Per a $f$ contínua, el problema de condició inicial $y' = f(t,y)$ amb $y(t_0) = y_0$ és equivalent a l'equació integral

$$y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f\big(s, y(s)\big)\,ds.$$

L'equivalència és el teorema fonamental del càlcul en les dues direccions, i el canvi d'aspecte és molt útil: la condició inicial ja hi és incorporada (no cal imposar-la després) i, sobretot, l'expressió té forma de punt fix. Una solució és una funció que, quan la fiques dins l'operador integral, en surt igual.

Això suggereix un mètode constructiu, la iteració de Picard: comença amb la funció constant $y_0(t) = y_0$ i defineix

$$y_{k+1}(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f\big(s, y_k(s)\big)\,ds.$$

Si la successió convergeix uniformement, el límit és el punt fix buscat. A més de ser una demostració, és un mètode que es pot fer a mà en casos senzills i que dona, de fet, els primers termes del desenvolupament en sèrie de la solució.

El teorema local

El teorema de Picard i Lindelöf diu que si $f$ és contínua en un entorn del punt inicial i localment Lipschitz respecte de l'estat, el problema té una única solució local. El mecanisme de la prova és el que explica per què la hipòtesi és aquesta i no una altra: en un interval de semilongitud $h$, la diferència entre les imatges de dues funcions per l'operador integral queda acotada per $Lh$ vegades la distància entre elles. Si tries $h$ prou petit perquè $Lh < 1$, l'operador és una contracció en un espai complet de funcions contínues, i el teorema del punt fix de Banach dona existència i unicitat d'un cop.

Dues precisions que s'han de tenir clares. Primera: si la derivada parcial de $f$ respecte de l'estat és contínua en un entorn, la condició de Lipschitz local es compleix automàticament, i aquesta és la comprovació ràpida que faràs el noranta per cent de les vegades. És una condició suficient, no necessària. Segona: la continuïtat sola, sense Lipschitz, encara dona existència local pel teorema de Peano, però no dona unicitat.

Interval maximal i explosió

Un cop tens la solució local, la pots anar prolongant mentre no passi res dolent. Les dues coses dolentes són que la trajectòria arribi a la vora del domini on el camp està definit, o que es faci no acotada en temps finit. Aquest segon fenomen s'anomena explosió (o blow-up) i és molt més freqüent del que sembla.

Una condició suficient habitual per garantir existència en tot un interval temporal finit és una cota de creixement com a molt lineal en l'estat, del tipus que la norma de $f(t,y)$ estigui acotada per $a(t) + b(t)\lVert y\rVert$ amb $a$ i $b$ localment integrables. Els camps lineals la compleixen sempre, i per això els sistemes lineals amb coeficients continus mai no exploten en temps finit. El creixement quadràtic de l'exemple anterior és justament el que trenca la cota.

Dependència contínua i Grönwall

La tercera peça d'un problema ben plantejat, després d'existència i unicitat, és que la solució depengui contínuament de les dades: si mous una mica la condició inicial, la trajectòria s'ha de moure una mica. Sense això, cap càlcul numèric ni cap mesura experimental no tindria sentit.

Si $f$ és Lipschitz en l'estat amb constant $L$, la desigualtat de Grönwall aplicada a la formulació integral dona la cota

$$\lVert y(t) - z(t)\rVert \leq e^{L(t - t_0)}\lVert y_0 - z_0\rVert$$

per a temps posteriors a l'inicial, mentre les dues trajectòries es mantinguin dins del domini on val la constant. Llegeix-la bé: és una cota superior. Diu que l'error no pot créixer més de pressa que una exponencial, no que hagi de créixer exponencialment. En un sistema estable, de fet, els errors es contrauen. El que la cota sí que explica és per què l'horitzó de predicció fiable d'un sistema sensible és tan curt: si $L$ és gran, la garantia es degrada de pressa.

Exercici resolt: interval maximal cap al passat

Quin és l'interval maximal de la solució de $y' = y^{2}$ amb $y(0) = -1$?

La família és la mateixa d'abans: $-1/y = t + C$. Amb la dada, $1 = C$, i per tant

$$y(t) = \frac{-1}{1+t}.$$

El denominador s'anul·la a $t = -1$, de manera que l'interval maximal que conté el zero és tot el que hi ha a la dreta de $-1$. Aquí l'explosió és cap al passat, no cap al futur: la solució existeix per a tot temps futur i s'acosta a zero. Compara-ho amb la dada positiva de l'exemple anterior, on passava exactament el contrari. El signe de la dada inicial decideix cap a quin costat es trenca la solució, cosa que la fórmula sola no fa evident si no mires el denominador.

Exercici resolt: dues iteracions de Picard

Calcula les dues primeres iterades de Picard per a $y' = y$ amb $y(0) = 1$.

Comencem amb $y_0(t) = 1$. Aleshores

$$y_1(t) = 1 + \int_0^{t} 1\,ds = 1 + t, \qquad y_2(t) = 1 + \int_0^{t}(1+s)\,ds = 1 + t + \frac{t^{2}}{2}.$$

Es veu clarament cap a on va: les iterades són les sumes parcials de la sèrie de l'exponencial, que és efectivament la solució. Això il·lustra que la iteració de Picard no és només un artefacte de la demostració, sinó un mètode que produeix aproximacions reconeixibles.