Polinomis i irreductibilitat: divisió, arrels, Eisenstein i reducció modular

La pregunta central d'aquest tema no és «com factoritzo aquest polinomi» sinó «sobre quin cos». Un mateix polinomi pot ser irreductible en un lloc i factoritzar en un altre, i gairebé tots els errors venen de no declarar el cos base. La segona font d'errors és creure que «no té arrels» vol dir «és irreductible», cosa que només val fins a grau tres.

Divisió i Bézout

Per a polinomis amb coeficients en un cos, la divisió euclidiana existeix i és única: quocient i residu, amb el residu de grau menor que el divisor o nul. L'algorisme va eliminant el terme de grau màxim dividint pel coeficient líder del divisor, i aquí és on cal que els coeficients formin un cos: sense inversos, el pas no es pot fer sempre.

Amb divisió euclidiana ve tot el que la segueix: l'algorisme d'Euclides dona el màxim comú divisor, i Bézout l'expressa com a combinació. La conseqüència que més es fa servir: si $p$ és irreductible i $f$ no n'és múltiple, una identitat de Bézout proporciona directament l'invers de la classe de $f$ al quocient per $p$. Aquest és el mecanisme que fa que aquells quocients siguin cossos.

Arrels i multiplicitat

El teorema del residu diu que el residu de dividir per $x-a$ és el valor del polinomi a $a$. Per tant, ser arrel equival a ser divisible per aquell factor lineal, i per inducció un polinomi no nul de grau $n$ té com a molt $n$ arrels diferents.

Per a les arrels múltiples, l'eina és la derivada formal: un element és arrel múltiple exactament quan ho és del polinomi i de la seva derivada. D'aquí que un polinomi no tingui factors repetits si i només si el màxim comú divisor amb la seva derivada és $1$.

Irreductibilitat depèn del cos

Un polinomi de grau positiu és irreductible sobre un cos si no és producte de dos polinomis de graus positius amb coeficients en aquell cos.

Els exemples canònics són tres i val la pena tenir-los memoritzats:

• $x^{2}+1$ és irreductible sobre els reals i no sobre els complexos.
• $x^{2}-2$ és irreductible sobre els racionals i no sobre els reals.
• $x^{2}+x+1$ és irreductible sobre les classes mòdul $2$ i no sobre les classes mòdul $3$ (on $x=1$ n'és arrel).

De l'enter al racional: Gauss i l'arrel racional

El lema de Gauss diu que el producte de polinomis primitius amb coeficients enters torna a ser primitiu, i se'n dedueix el que realment es fa servir: un polinomi primitiu és irreductible sobre els enters si i només si ho és sobre els racionals. Això permet treballar amb coeficients enters sense por, que és molt més còmode.

El teorema de l'arrel racional restringeix els candidats: si una fracció irreductible és arrel, el numerador divideix el terme independent i el denominador divideix el coeficient líder. Amb polinomis mònics, això vol dir que les úniques arrels racionals possibles són divisors enters del terme independent.

Eisenstein i reducció modular

L'altra tècnica és la reducció modular: si redueixes mòdul un primer sense perdre grau i el resultat és irreductible, l'original també ho és.

Exercici resolt: invertir una classe

Troba l'invers de la classe de $x$ al quocient dels polinomis racionals per $x^{2}+1$.

Camí directe. Al quocient, $x^{2}$ és equivalent a $-1$. Per tant

$$[x]\cdot[-x] = [-x^{2}] = [1].$$

L'invers és la classe de $-x$.

Camí general, amb Bézout. Es busquen polinomis tals que $a(x)\cdot x + b(x)(x^{2}+1) = 1$. Amb $a(x) = -x$ i $b(x) = 1$ surt $-x^{2}+x^{2}+1 = 1$. Correcte, i el coeficient d'$x$ és l'invers.

Per què sempre funciona. Com que $x^{2}+1$ és irreductible sobre els racionals i $x$ no n'és múltiple, el màxim comú divisor és $1$ i Bézout garanteix que la identitat existeix. Aquest mateix argument demostra que tota classe no nul·la és invertible, és a dir que el quocient és un cos.

Aquest quocient és, de fet, una còpia dels nombres complexos.

Exercici resolt: decidir irreductibilitat pas a pas

És irreductible $x^{3}-3x-1$ sobre els racionals?

Pas 1 — grau. És de grau $3$, de manera que no tenir arrels equival a ser irreductible.

Pas 2 — candidats a arrel racional. És mònic, o sigui que les úniques candidates són els divisors del terme independent: $1$ i $-1$.

Pas 3 — provar-les.

$$1 - 3 - 1 = -3 \neq 0, \qquad -1 + 3 - 1 = 1 \neq 0.$$

Conclusió: no té arrels racionals i, en grau $3$, això demostra que és irreductible.

Comprovació del mètode. Eisenstein no s'aplicaria amb cap primer: caldria un primer que dividís $-3$ i $-1$ alhora, i no n'hi ha cap. Que un criteri falli no demostra res, i aquí el camí correcte era el de l'arrel racional.

Un detall. Aquest polinomi té tres arrels reals, totes irracionals, i és un exemple clàssic del «cas irreductible» de la cúbica: encara que les arrels siguin reals, la fórmula de Cardano hi passa pels complexos.