Exercicis d'EDO de primer ordre

Pas 1 — separar. L'equació $y' = -3y$ té la $y$ com a factor, o sigui que es pot separar:

$\frac{dy}{y} = -3\,dx$

Pas 2 — integrar els dos costats.

$\ln|y| = -3x + C \quad\Longrightarrow\quad y = A e^{-3x}$

on $A = \pm e^{C}$ és simplement una constant qualsevol.

Pas 3 — usar la condició inicial. A $x = 0$ l'exponencial val $1$, o sigui que $y(0) = A = 1$.

$y(x) = e^{- 3 x}$

Comprovació. Deriva: $y' = -3\cdot e^{-3x} = -3y$. Correcte.

Pas 1 — factor integrant. Amb $p(x) = 1$, el factor és $\mu = e^{x}$. Es tria justament perquè $\mu' = \mu$, i així el costat esquerre es converteix en la derivada d'un producte.

Pas 2 — multiplicar i integrar.

$(e^{x}y)' = 2e^{x} \quad\Longrightarrow\quad e^{x}y = 2e^{x} + C$

Pas 3 — aïllar. Dividint per $e^{x}$:

$y = 2 + Ce^{-x}$

Pas 4 — condició inicial. A $x = 0$: $2 + C = 0$, o sigui $C = -2$.

$y(x) = 2 - 2 e^{- x}$

Fixa't que quan $x$ creix la solució s'acosta a $2$: és l'equilibri de l'equació, el valor que fa $y' = 0$.

Pas 1 — separar i integrar.

$\frac{dy}{y} = x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = \frac{x^{2}}{2} + C$

Pas 2 — exponenciar.

$y = A\,e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Pas 3 — condició inicial. A $x = 0$ l'exponent val $0$ i l'exponencial val $1$, o sigui $A = 1$.

$y(x) = e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Compte: aquí l'exponent no és $x$ sinó la seva primitiva. Aquest és l'error que es repeteix més en aquest tipus d'exercici.

Pas 1 — el canvi. Amb exponent $\alpha = 2$, el canvi és $v = y^{1-2} = 1/y$.

Pas 2 — transformar. Divideix tota l'equació per $y^{2}$:

$\frac{y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} = 1$

Com que $v' = -y'/y^{2}$, això és $-v' + v = 1$, és a dir

$v' - v = -1.$

Pas 3 — resoldre la lineal. Factor integrant $e^{-x}$, i surt $v = 1 + Ke^{x}$.

Pas 4 — condició inicial. $v(0) = 1/y(0) = 1$, o sigui $K = 0$.

Pas 5 — desfer el canvi. Com que $y = 1/v$,

$y(x) = 1$

Recorda que $y = 0$ també és solució de l'equació original, encara que el canvi no la pugui veure.

Una solució constant $y(x) = y_*$ té derivada zero, o sigui que ha de complir $y(y-3) = 0$.

Resolent, els zeros del segon membre són $y=0$ i $y=3$.

Per tant la resposta és 0 i 3.

Aquests equilibris són importants per dues raons: són solucions que el mètode de separació de variables perd (perquè divideixes per aquest factor) i són els valors cap als quals tendeixen les altres solucions.

Mirem-ho amb el guió de sempre.

L'equació $y' = \dfrac{x^{2}}{y}$ és Separable perquè es pot escriure com a producte d'una funció de $x$ per una funció de $y$.

Aquesta pregunta és la meitat de l'exercici en un examen: triar malament el mètode et fa perdre tot el temps encara que després integris perfectament. Abans d'escriure res, classifica.

Pas 1 — separar. L'equació $y' = -3y$ té la $y$ com a factor, o sigui que es pot separar:

$\frac{dy}{y} = -3\,dx$

Pas 2 — integrar els dos costats.

$\ln|y| = -3x + C \quad\Longrightarrow\quad y = A e^{-3x}$

on $A = \pm e^{C}$ és simplement una constant qualsevol.

Pas 3 — usar la condició inicial. A $x = 0$ l'exponencial val $1$, o sigui que $y(0) = A = 2$.

$y(x) = 2 e^{- 3 x}$

Comprovació. Deriva: $y' = -3\cdot 2e^{-3x} = -3y$. Correcte.

Pas 1 — factor integrant. Amb $p(x) = 1$, el factor és $\mu = e^{x}$. Es tria justament perquè $\mu' = \mu$, i així el costat esquerre es converteix en la derivada d'un producte.

Pas 2 — multiplicar i integrar.

$(e^{x}y)' = 2e^{x} \quad\Longrightarrow\quad e^{x}y = 2e^{x} + C$

Pas 3 — aïllar. Dividint per $e^{x}$:

$y = 2 + Ce^{-x}$

Pas 4 — condició inicial. A $x = 0$: $2 + C = 1$, o sigui $C = -1$.

$y(x) = 2 - e^{- x}$

Fixa't que quan $x$ creix la solució s'acosta a $2$: és l'equilibri de l'equació, el valor que fa $y' = 0$.

Pas 1 — separar i integrar.

$\frac{dy}{y} = x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = \frac{x^{2}}{2} + C$

Pas 2 — exponenciar.

$y = A\,e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Pas 3 — condició inicial. A $x = 0$ l'exponent val $0$ i l'exponencial val $1$, o sigui $A = 2$.

$y(x) = 2 e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Compte: aquí l'exponent no és $x$ sinó la seva primitiva. Aquest és l'error que es repeteix més en aquest tipus d'exercici.

Pas 1 — el canvi. Amb exponent $\alpha = 2$, el canvi és $v = y^{1-2} = 1/y$.

Pas 2 — transformar. Divideix tota l'equació per $y^{2}$:

$\frac{y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} = 1$

Com que $v' = -y'/y^{2}$, això és $-v' + v = 1$, és a dir

$v' - v = -1.$

Pas 3 — resoldre la lineal. Factor integrant $e^{-x}$, i surt $v = 1 + Ke^{x}$.

Pas 4 — condició inicial. $v(0) = 1/y(0) = \frac{1}{2}$, o sigui $K = - \frac{1}{2}$.

Pas 5 — desfer el canvi. Com que $y = 1/v$,

$y(x) = \frac{1}{1 - \frac{e^{x}}{2}}$

Recorda que $y = 0$ també és solució de l'equació original, encara que el canvi no la pugui veure.