Exercicis d'EDO de primer ordre

Pas 1 — separar i integrar.

$\frac{dy}{y} = 2 x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = \frac{2 x^{3}}{3} + C$

Pas 2 — exponenciar.

$y = A\,e^{\frac{2 x^{3}}{3}}$

Pas 3 — condició inicial. A $x = 0$ l'exponent val $0$ i l'exponencial val $1$, o sigui $A = 3$.

$y(x) = 3 e^{\frac{2 x^{3}}{3}}$

Compte: aquí l'exponent no és $2 x^{2}$ sinó la seva primitiva. Aquest és l'error que es repeteix més en aquest tipus d'exercici.

Pas 1 — el canvi. Amb exponent $\alpha = 2$, el canvi és $v = y^{1-2} = 1/y$.

Pas 2 — transformar. Divideix tota l'equació per $y^{2}$:

$\frac{y'}{y^{2}} + 3\frac{1}{y} = 2$

Com que $v' = -y'/y^{2}$, això és $-v' + 3v = 2$, és a dir

$v' - 3v = -2.$

Pas 3 — resoldre la lineal. Factor integrant $e^{-3x}$, i surt $v = \frac{2}{3} + Ke^{3x}$.

Pas 4 — condició inicial. $v(0) = 1/y(0) = 1$, o sigui $K = \frac{1}{3}$.

Pas 5 — desfer el canvi. Com que $y = 1/v$,

$y(x) = \frac{1}{\frac{e^{3 x}}{3} + \frac{2}{3}}$

Recorda que $y = 0$ també és solució de l'equació original, encara que el canvi no la pugui veure.

Pas 1 — separar. L'equació $y' = y$ té la $y$ com a factor, o sigui que es pot separar:

$\frac{dy}{y} = 1\,dx$

Pas 2 — integrar els dos costats.

$\ln|y| = x + C \quad\Longrightarrow\quad y = A e^{x}$

on $A = \pm e^{C}$ és simplement una constant qualsevol.

Pas 3 — usar la condició inicial. A $x = 0$ l'exponencial val $1$, o sigui que $y(0) = A = 1$.

$y(x) = e^{x}$

Comprovació. Deriva: $y' = 1\cdot e^{x} = y$. Correcte.

Pas 1 — factor integrant. Amb $p(x) = 2$, el factor és $\mu = e^{2x}$. Es tria justament perquè $\mu' = 2\mu$, i així el costat esquerre es converteix en la derivada d'un producte.

Pas 2 — multiplicar i integrar.

$(e^{2x}y)' = 6e^{2x} \quad\Longrightarrow\quad e^{2x}y = 3e^{2x} + C$

Pas 3 — aïllar. Dividint per $e^{2x}$:

$y = 3 + Ce^{-2x}$

Pas 4 — condició inicial. A $x = 0$: $3 + C = 0$, o sigui $C = -3$.

$y(x) = 3 - 3 e^{- 2 x}$

Fixa't que quan $x$ creix la solució s'acosta a $3$: és l'equilibri de l'equació, el valor que fa $y' = 0$.

Pas 1 — separar i integrar.

$\frac{dy}{y} = - x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = - \frac{x^{3}}{3} + C$

Pas 2 — exponenciar.

$y = A\,e^{- \frac{x^{3}}{3}}$

Pas 3 — condició inicial. A $x = 0$ l'exponent val $0$ i l'exponencial val $1$, o sigui $A = 1$.

$y(x) = e^{- \frac{x^{3}}{3}}$

Compte: aquí l'exponent no és $- x^{2}$ sinó la seva primitiva. Aquest és l'error que es repeteix més en aquest tipus d'exercici.

Pas 1 — el canvi. Amb exponent $\alpha = 2$, el canvi és $v = y^{1-2} = 1/y$.

Pas 2 — transformar. Divideix tota l'equació per $y^{2}$:

$\frac{y'}{y^{2}} + 3\frac{1}{y} = 2$

Com que $v' = -y'/y^{2}$, això és $-v' + 3v = 2$, és a dir

$v' - 3v = -2.$

Pas 3 — resoldre la lineal. Factor integrant $e^{-3x}$, i surt $v = \frac{2}{3} + Ke^{3x}$.

Pas 4 — condició inicial. $v(0) = 1/y(0) = \frac{1}{2}$, o sigui $K = - \frac{1}{6}$.

Pas 5 — desfer el canvi. Com que $y = 1/v$,

$y(x) = \frac{1}{\frac{2}{3} - \frac{e^{3 x}}{6}}$

Recorda que $y = 0$ també és solució de l'equació original, encara que el canvi no la pugui veure.

Pas 1 — separar. L'equació $y' = y$ té la $y$ com a factor, o sigui que es pot separar:

$\frac{dy}{y} = 1\,dx$

Pas 2 — integrar els dos costats.

$\ln|y| = x + C \quad\Longrightarrow\quad y = A e^{x}$

on $A = \pm e^{C}$ és simplement una constant qualsevol.

Pas 3 — usar la condició inicial. A $x = 0$ l'exponencial val $1$, o sigui que $y(0) = A = 2$.

$y(x) = 2 e^{x}$

Comprovació. Deriva: $y' = 1\cdot 2e^{x} = y$. Correcte.

Pas 1 — factor integrant. Amb $p(x) = 2$, el factor és $\mu = e^{2x}$. Es tria justament perquè $\mu' = 2\mu$, i així el costat esquerre es converteix en la derivada d'un producte.

Pas 2 — multiplicar i integrar.

$(e^{2x}y)' = 6e^{2x} \quad\Longrightarrow\quad e^{2x}y = 3e^{2x} + C$

Pas 3 — aïllar. Dividint per $e^{2x}$:

$y = 3 + Ce^{-2x}$

Pas 4 — condició inicial. A $x = 0$: $3 + C = 1$, o sigui $C = -2$.

$y(x) = 3 - 2 e^{- 2 x}$

Fixa't que quan $x$ creix la solució s'acosta a $3$: és l'equilibri de l'equació, el valor que fa $y' = 0$.

Pas 1 — separar i integrar.

$\frac{dy}{y} = - x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = - \frac{x^{3}}{3} + C$

Pas 2 — exponenciar.

$y = A\,e^{- \frac{x^{3}}{3}}$

Pas 3 — condició inicial. A $x = 0$ l'exponent val $0$ i l'exponencial val $1$, o sigui $A = 2$.

$y(x) = 2 e^{- \frac{x^{3}}{3}}$

Compte: aquí l'exponent no és $- x^{2}$ sinó la seva primitiva. Aquest és l'error que es repeteix més en aquest tipus d'exercici.

Pas 1 — el canvi. Amb exponent $\alpha = 2$, el canvi és $v = y^{1-2} = 1/y$.

Pas 2 — transformar. Divideix tota l'equació per $y^{2}$:

$\frac{y'}{y^{2}} + 3\frac{1}{y} = 3$

Com que $v' = -y'/y^{2}$, això és $-v' + 3v = 3$, és a dir

$v' - 3v = -3.$

Pas 3 — resoldre la lineal. Factor integrant $e^{-3x}$, i surt $v = 1 + Ke^{3x}$.

Pas 4 — condició inicial. $v(0) = 1/y(0) = 1$, o sigui $K = 0$.

Pas 5 — desfer el canvi. Com que $y = 1/v$,

$y(x) = 1$

Recorda que $y = 0$ també és solució de l'equació original, encara que el canvi no la pugui veure.