Exercicis d'EDO de primer ordre

Pas 1 — separar. L'equació $y' = 3y$ té la $y$ com a factor, o sigui que es pot separar:

$\frac{dy}{y} = 3\,dx$

Pas 2 — integrar els dos costats.

$\ln|y| = 3x + C \quad\Longrightarrow\quad y = A e^{3x}$

on $A = \pm e^{C}$ és simplement una constant qualsevol.

Pas 3 — usar la condició inicial. A $x = 0$ l'exponencial val $1$, o sigui que $y(0) = A = 2$.

$y(x) = 2 e^{3 x}$

Comprovació. Deriva: $y' = 3\cdot 2e^{3x} = 3y$. Correcte.

Pas 1 — factor integrant. Amb $p(x) = 3$, el factor és $\mu = e^{3x}$. Es tria justament perquè $\mu' = 3\mu$, i així el costat esquerre es converteix en la derivada d'un producte.

Pas 2 — multiplicar i integrar.

$(e^{3x}y)' = 6e^{3x} \quad\Longrightarrow\quad e^{3x}y = 2e^{3x} + C$

Pas 3 — aïllar. Dividint per $e^{3x}$:

$y = 2 + Ce^{-3x}$

Pas 4 — condició inicial. A $x = 0$: $2 + C = 5$, o sigui $C = 3$.

$y(x) = 2 + 3 e^{- 3 x}$

Fixa't que quan $x$ creix la solució s'acosta a $2$: és l'equilibri de l'equació, el valor que fa $y' = 0$.

Pas 1 — separar. L'equació $y' = 3y$ té la $y$ com a factor, o sigui que es pot separar:

$\frac{dy}{y} = 3\,dx$

Pas 2 — integrar els dos costats.

$\ln|y| = 3x + C \quad\Longrightarrow\quad y = A e^{3x}$

on $A = \pm e^{C}$ és simplement una constant qualsevol.

Pas 3 — usar la condició inicial. A $x = 0$ l'exponencial val $1$, o sigui que $y(0) = A = 3$.

$y(x) = 3 e^{3 x}$

Comprovació. Deriva: $y' = 3\cdot 3e^{3x} = 3y$. Correcte.

Pas 1 — separar. L'equació $y' = 3y$ té la $y$ com a factor, o sigui que es pot separar:

$\frac{dy}{y} = 3\,dx$

Pas 2 — integrar els dos costats.

$\ln|y| = 3x + C \quad\Longrightarrow\quad y = A e^{3x}$

on $A = \pm e^{C}$ és simplement una constant qualsevol.

Pas 3 — usar la condició inicial. A $x = 0$ l'exponencial val $1$, o sigui que $y(0) = A = 4$.

$y(x) = 4 e^{3 x}$

Comprovació. Deriva: $y' = 3\cdot 4e^{3x} = 3y$. Correcte.

Pas 1 — separar. L'equació $y' = 3y$ té la $y$ com a factor, o sigui que es pot separar:

$\frac{dy}{y} = 3\,dx$

Pas 2 — integrar els dos costats.

$\ln|y| = 3x + C \quad\Longrightarrow\quad y = A e^{3x}$

on $A = \pm e^{C}$ és simplement una constant qualsevol.

Pas 3 — usar la condició inicial. A $x = 0$ l'exponencial val $1$, o sigui que $y(0) = A = 5$.

$y(x) = 5 e^{3 x}$

Comprovació. Deriva: $y' = 3\cdot 5e^{3x} = 3y$. Correcte.