Simulacre d'examen d'EDO de primer ordre

Pas 1 — factor integrant. Amb $p(x) = 1$, el factor és $\mu = e^{x}$. Es tria justament perquè $\mu' = \mu$, i així el costat esquerre es converteix en la derivada d'un producte.

Pas 2 — multiplicar i integrar.

$(e^{x}y)' = 2e^{x} \quad\Longrightarrow\quad e^{x}y = 2e^{x} + C$

Pas 3 — aïllar. Dividint per $e^{x}$:

$y = 2 + Ce^{-x}$

Pas 4 — condició inicial. A $x = 0$: $2 + C = 0$, o sigui $C = -2$.

$y(x) = 2 - 2 e^{- x}$

Fixa't que quan $x$ creix la solució s'acosta a $2$: és l'equilibri de l'equació, el valor que fa $y' = 0$.

Pas 1 — factor integrant. Amb $p(x) = 1$, el factor és $\mu = e^{x}$. Es tria justament perquè $\mu' = \mu$, i així el costat esquerre es converteix en la derivada d'un producte.

Pas 2 — multiplicar i integrar.

$(e^{x}y)' = 2e^{x} \quad\Longrightarrow\quad e^{x}y = 2e^{x} + C$

Pas 3 — aïllar. Dividint per $e^{x}$:

$y = 2 + Ce^{-x}$

Pas 4 — condició inicial. A $x = 0$: $2 + C = 5$, o sigui $C = 3$.

$y(x) = 2 + 3 e^{- x}$

Fixa't que quan $x$ creix la solució s'acosta a $2$: és l'equilibri de l'equació, el valor que fa $y' = 0$.

Pas 1 — separar i integrar.

$\frac{dy}{y} = 2 x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = x^{2} + C$

Pas 2 — exponenciar.

$y = A\,e^{x^{2}}$

Pas 3 — condició inicial. A $x = 0$ l'exponent val $0$ i l'exponencial val $1$, o sigui $A = 2$.

$y(x) = 2 e^{x^{2}}$

Compte: aquí l'exponent no és $2 x$ sinó la seva primitiva. Aquest és l'error que es repeteix més en aquest tipus d'exercici.

Pas 1 — separar i integrar.

$\frac{dy}{y} = - x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = - \frac{x^{2}}{2} + C$

Pas 2 — exponenciar.

$y = A\,e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Pas 3 — condició inicial. A $x = 0$ l'exponent val $0$ i l'exponencial val $1$, o sigui $A = 1$.

$y(x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Compte: aquí l'exponent no és $- x$ sinó la seva primitiva. Aquest és l'error que es repeteix més en aquest tipus d'exercici.

Pas 1 — el canvi. Amb exponent $\alpha = 2$, el canvi és $v = y^{1-2} = 1/y$.

Pas 2 — transformar. Divideix tota l'equació per $y^{2}$:

$\frac{y'}{y^{2}} + 2\frac{1}{y} = 2$

Com que $v' = -y'/y^{2}$, això és $-v' + 2v = 2$, és a dir

$v' - 2v = -2.$

Pas 3 — resoldre la lineal. Factor integrant $e^{-2x}$, i surt $v = 1 + Ke^{2x}$.

Pas 4 — condició inicial. $v(0) = 1/y(0) = 1$, o sigui $K = 0$.

Pas 5 — desfer el canvi. Com que $y = 1/v$,

$y(x) = 1$

Recorda que $y = 0$ també és solució de l'equació original, encara que el canvi no la pugui veure.

Mirem-ho amb el guió de sempre.

L'equació $y' = \dfrac{1+y^{2}}{1+x^{2}}$ és Separable perquè el numerador només té $y$ i el denominador només $x$.

Aquesta pregunta és la meitat de l'exercici en un examen: triar malament el mètode et fa perdre tot el temps encara que després integris perfectament. Abans d'escriure res, classifica.

Pas 1 — el canvi. Amb exponent $\alpha = 2$, el canvi és $v = y^{1-2} = 1/y$.

Pas 2 — transformar. Divideix tota l'equació per $y^{2}$:

$\frac{y'}{y^{2}} + 3\frac{1}{y} = 1$

Com que $v' = -y'/y^{2}$, això és $-v' + 3v = 1$, és a dir

$v' - 3v = -1.$

Pas 3 — resoldre la lineal. Factor integrant $e^{-3x}$, i surt $v = \frac{1}{3} + Ke^{3x}$.

Pas 4 — condició inicial. $v(0) = 1/y(0) = \frac{1}{2}$, o sigui $K = \frac{1}{6}$.

Pas 5 — desfer el canvi. Com que $y = 1/v$,

$y(x) = \frac{1}{\frac{e^{3 x}}{6} + \frac{1}{3}}$

Recorda que $y = 0$ també és solució de l'equació original, encara que el canvi no la pugui veure.

Pas 1 — separar i integrar.

$\frac{dy}{y} = - x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = - \frac{x^{3}}{3} + C$

Pas 2 — exponenciar.

$y = A\,e^{- \frac{x^{3}}{3}}$

Pas 3 — condició inicial. A $x = 0$ l'exponent val $0$ i l'exponencial val $1$, o sigui $A = 3$.

$y(x) = 3 e^{- \frac{x^{3}}{3}}$

Compte: aquí l'exponent no és $- x^{2}$ sinó la seva primitiva. Aquest és l'error que es repeteix més en aquest tipus d'exercici.

Pas 1 — separar. L'equació $y' = -3y$ té la $y$ com a factor, o sigui que es pot separar:

$\frac{dy}{y} = -3\,dx$

Pas 2 — integrar els dos costats.

$\ln|y| = -3x + C \quad\Longrightarrow\quad y = A e^{-3x}$

on $A = \pm e^{C}$ és simplement una constant qualsevol.

Pas 3 — usar la condició inicial. A $x = 0$ l'exponencial val $1$, o sigui que $y(0) = A = 1$.

$y(x) = e^{- 3 x}$

Comprovació. Deriva: $y' = -3\cdot e^{-3x} = -3y$. Correcte.

Pas 1 — separar. L'equació $y' = -2y$ té la $y$ com a factor, o sigui que es pot separar:

$\frac{dy}{y} = -2\,dx$

Pas 2 — integrar els dos costats.

$\ln|y| = -2x + C \quad\Longrightarrow\quad y = A e^{-2x}$

on $A = \pm e^{C}$ és simplement una constant qualsevol.

Pas 3 — usar la condició inicial. A $x = 0$ l'exponencial val $1$, o sigui que $y(0) = A = 3$.

$y(x) = 3 e^{- 2 x}$

Comprovació. Deriva: $y' = -2\cdot 3e^{-2x} = -2y$. Correcte.

Pas 1 — separar. L'equació $y' = y$ té la $y$ com a factor, o sigui que es pot separar:

$\frac{dy}{y} = 1\,dx$

Pas 2 — integrar els dos costats.

$\ln|y| = x + C \quad\Longrightarrow\quad y = A e^{x}$

on $A = \pm e^{C}$ és simplement una constant qualsevol.

Pas 3 — usar la condició inicial. A $x = 0$ l'exponencial val $1$, o sigui que $y(0) = A = 1$.

$y(x) = e^{x}$

Comprovació. Deriva: $y' = 1\cdot e^{x} = y$. Correcte.

Pas 1 — separar. L'equació $y' = 2y$ té la $y$ com a factor, o sigui que es pot separar:

$\frac{dy}{y} = 2\,dx$

Pas 2 — integrar els dos costats.

$\ln|y| = 2x + C \quad\Longrightarrow\quad y = A e^{2x}$

on $A = \pm e^{C}$ és simplement una constant qualsevol.

Pas 3 — usar la condició inicial. A $x = 0$ l'exponencial val $1$, o sigui que $y(0) = A = 3$.

$y(x) = 3 e^{2 x}$

Comprovació. Deriva: $y' = 2\cdot 3e^{2x} = 2y$. Correcte.