EDO de primer ordre: separables, lineals, exactes i Bernoulli

Una equació diferencial ordinària de primer ordre és una relació entre una variable independent $t$, una funció desconeguda $y(t)$ i la seva derivada $y'$. A diferència d'una equació algebraica, aquí la incògnita no és un número sinó una funció sencera, i per això una solució no queda determinada fins que no dius també en quin interval viu. Aquesta pàgina és el mapa complet del primer ordre: primer com reconèixer de quin tipus és l'equació que tens al davant, i després la tècnica que li correspon. L'ordre importa: a l'examen es perden més punts per aplicar el mètode equivocat que per equivocar-se en una integral.

Què és exactament una solució

En forma normal, l'equació s'escriu $y' = f(t, y)$. Una solució és una funció derivable en un interval $I$ que compleix la igualtat per a tot punt de $I$. El camp de direccions és la manera geomètrica de veure-ho: a cada punt del pla hi dibuixes un petit segment amb pendent $f(t,y)$, i una corba solució és una corba tangent a aquest camp a tot arreu. Aquesta imatge és útil perquè et permet endevinar el comportament qualitatiu (si creix, si decreix, si s'acosta a una recta horitzontal) abans de calcular res, i després contrastar-ho amb la fórmula que obtinguis.

No tota equació té solució expressable amb funcions elementals, i no passa res. Una resposta implícita del tipus $F(t,y) = C$ és perfectament vàlida sempre que expliquis en quina regió defineix realment una funció $y(t)$ i comprovis que satisfà l'equació. El que no és vàlid és donar una fórmula i no dir-ne el domini.

Separables: el perill d'acabar dividint per zero

Si l'equació és $y' = a(t)\,b(y)$, la separació de variables és immediata: passes tot el que té $y$ a un costat i tot el que té $t$ a l'altre i integres,

$$\int \frac{dy}{b(y)} = \int a(t)\,dt + C.$$

Però fixa't en què acabes de fer: has dividit per $b(y)$. Cada zero de $b$, és a dir cada valor $y_*$ amb $b(y_*) = 0$, dona una solució constant $y(t) = y_*$ que el mètode ha deixat fora pel camí. Aquestes solucions constants s'anomenen equilibris i són sovint les més importants del problema, perquè marquen cap a on van totes les altres. Afegir-les i comprovar-les a part no és un detall estètic: és part de la resposta.

Lineals: el factor integrant no és màgia

L'equació lineal $y' + p(t)\,y = q(t)$, amb $p$ i $q$ contínues en un interval, es resol sempre. La idea és multiplicar tota l'equació per una funció $\mu(t) > 0$ triada perquè el membre esquerre es converteixi exactament en la derivada d'un producte. Volem que $\mu y' + \mu p y$ sigui $(\mu y)' = \mu y' + \mu' y$, i per tant necessitem $\mu' = p\,\mu$. Aquesta és una equació separable trivial i dona

$$\mu(t) = \exp\left(\int p(t)\,dt\right), \qquad (\mu y)' = \mu q, \qquad y(t) = \frac{1}{\mu(t)}\left(C + \int \mu(t)\,q(t)\,dt\right).$$

Explicat així, el factor integrant deixa de ser una fórmula que es memoritza i passa a ser una conseqüència directa de la regla del producte. A la constant de $\mu$ no cal donar-li voltes: qualsevol primitiva de $p$ serveix, perquè una constant multiplicativa se simplifica en la fórmula final.

Exactes: buscar un potencial

Escrita en forma diferencial, $M(t,y)\,dt + N(t,y)\,dy = 0$ és exacta si existeix una funció $\Phi$ amb $\Phi_t = M$ i $\Phi_y = N$. Aleshores l'equació diu simplement que la diferencial de $\Phi$ és nul·la, i les solucions són les corbes de nivell $\Phi(t,y) = C$. Sobre un rectangle i amb $M$ i $N$ de classe $C^1$, la condició $M_y = N_t$ és suficient per garantir que aquest potencial existeix; en dominis amb forats la condició deixa de ser suficient, exactament igual que passa amb els camps conservatius del càlcul vectorial.

El procediment per construir $\Phi$ és sempre el mateix: integres $M$ respecte de $t$, i com que has integrat en $t$ la "constant" d'integració és en realitat una funció desconeguda de $y$; després derives el que has obtingut respecte de $y$, ho iguales a $N$ i això determina la funció que faltava. Si en aquest pas t'apareix una $t$ que no es cancel·la, és que l'equació no era exacta i t'has saltat la comprovació.

Bernoulli i homogènies: dos canvis de variable que s'han de saber

L'equació de Bernoulli és $y' + p(t)y = q(t)\,y^{\alpha}$ amb $\alpha$ diferent de $0$ i de $1$ (amb aquests dos valors ja és lineal directament). El canvi $v = y^{1-\alpha}$ la converteix en lineal:

$$v' + (1-\alpha)\,p\,v = (1-\alpha)\,q.$$

Es dedueix derivant $v$ amb la regla de la cadena i substituint. Com que pel camí has dividit per una potència de $y$, cal mirar a part si la solució nul·la també val.

L'equació homogènia en el sentit de grau, $y' = F(y/t)$, es resol amb $y = t\,v$. Llavors $y' = v + t v'$ i l'equació queda $t v' = F(v) - v$, que és separable sempre que $t \neq 0$. Compte amb el vocabulari: aquesta homogeneïtat no té res a veure amb una equació lineal homogènia, que és la que té el terme independent nul. Són dos usos de la mateixa paraula i confondre'ls costa exercicis sencers.

Exercici resolt: separable amb dada negativa

Resol $y' = t\,y$ amb $y(0) = -2$.

L'equilibri és $y = 0$, que no compleix la dada. Fora d'ell, separem:

$$\frac{dy}{y} = t\,dt, \qquad \ln|y| = \frac{t^2}{2} + C, \qquad |y| = K e^{t^2/2}, \quad K > 0.$$

Com que la solució és contínua, no s'anul·la mai i comença en un valor negatiu, el signe es manté negatiu a tot l'interval. Per tant $y = -2 e^{t^2/2}$, definida a tot $\mathbb{R}$. Si haguessis escrit el logaritme sense valor absolut t'hauries quedat encallat aquí.

Exercici resolt: Bernoulli

Resol $y' + y = y^{2}$ per a valors positius de la incògnita.

És Bernoulli amb exponent $2$. El canvi és $v = y^{-1}$, i com que l'exponent conjugat val $-1$ l'equació transformada és

$$v' - v = -1.$$

És lineal amb factor integrant $e^{-t}$: la derivada del producte val $-e^{-t}$, d'on $e^{-t} v = e^{-t} + C$ i per tant $v = 1 + C e^{t}$. Desfent el canvi,

$$y = \frac{1}{1 + C e^{t}},$$

en els intervals on el denominador no s'anul·la. A més, la funció idènticament nul·la també és solució de l'equació original, encara que el canvi de variable no la pogués veure.

Com verificar que has acabat

Un exercici de primer ordre no està tancat fins que has fet quatre comprovacions: deriva la teva solució i substitueix-la a l'equació; imposa la condició inicial; digues l'interval on la fórmula és vàlida, que normalment acaba on s'anul·la un denominador o on deixa de complir-se una hipòtesi; i revisa els equilibris que hagis pogut perdre en dividir. Si una de les quatre falla, encara no has resolt el problema. Quan tinguis això automatitzat, continua amb les EDO lineals d'ordre superior, que és on apareixen la ressonància i les bases de solucions.