Exercicis de recurrències

Pas 1 — equació característica. Provant $a_n = \lambda^{n}$:

$\lambda^{2} - 5\lambda + 6 = 0$

amb arrels $\lambda_1 = 2$ i $\lambda_2 = 3$.

Pas 2 — solució general. $a_n = A\cdot2^{n} + B\cdot3^{n}$.

Pas 3 — dades inicials. De $a_0 = 2$ surt $A + B = 2$; de $a_1 = 5$ surt $2A + 3B = 5$. Resolent, $A = 1$ i $B = 1$.

Pas 4 — avaluar.

$a_{4} = 97.0000$

Comprovació barata: calcula un parell de termes amb la recurrència directament i compara'ls amb la fórmula. Si no coincideixen, l'error és al sistema de les constants.

Mètode 1 — iterar. Aplicant la recurrència $4$ vegades des de $a_0 = 0$ s'arriba a

$a_{4} = 15.0000$

Mètode 2 — fórmula tancada. La solució homogènia és $A\cdot2^{n}$. Com que $2\neq 1$, es pot provar una constant $C$ com a particular: $C = 2C + 1$ dona $C = -1$. Imposant la dada inicial es determina $A$.

El cas excepcional. Quan el coeficient val exactament $1$, la fórmula amb denominador $1-\alpha$ no serveix perquè el denominador s'anul·la. Aquest cas s'ha de tractar a part, no maquillar substituint a una fórmula invàlida.

Pas 1 — equació característica. Provant $a_n = \lambda^{n}$:

$\lambda^{2} - 5\lambda + 6 = 0$

amb arrels $\lambda_1 = 2$ i $\lambda_2 = 3$.

Pas 2 — solució general. $a_n = A\cdot2^{n} + B\cdot3^{n}$.

Pas 3 — dades inicials. De $a_0 = 2$ surt $A + B = 2$; de $a_1 = 5$ surt $2A + 3B = 5$. Resolent, $A = 1$ i $B = 1$.

Pas 4 — avaluar.

$a_{5} = 275.0000$

Comprovació barata: calcula un parell de termes amb la recurrència directament i compara'ls amb la fórmula. Si no coincideixen, l'error és al sistema de les constants.

Mètode 1 — iterar. Aplicant la recurrència $6$ vegades des de $a_0 = 0$ s'arriba a

$a_{6} = 63.0000$

Mètode 2 — fórmula tancada. La solució homogènia és $A\cdot2^{n}$. Com que $2\neq 1$, es pot provar una constant $C$ com a particular: $C = 2C + 1$ dona $C = -1$. Imposant la dada inicial es determina $A$.

El cas excepcional. Quan el coeficient val exactament $1$, la fórmula amb denominador $1-\alpha$ no serveix perquè el denominador s'anul·la. Aquest cas s'ha de tractar a part, no maquillar substituint a una fórmula invàlida.

Pas 1 — equació característica. Provant $a_n = \lambda^{n}$:

$\lambda^{2} - 5\lambda + 6 = 0$

amb arrels $\lambda_1 = 2$ i $\lambda_2 = 3$.

Pas 2 — solució general. $a_n = A\cdot2^{n} + B\cdot3^{n}$.

Pas 3 — dades inicials. De $a_0 = 2$ surt $A + B = 2$; de $a_1 = 5$ surt $2A + 3B = 5$. Resolent, $A = 1$ i $B = 1$.

Pas 4 — avaluar.

$a_{6} = 793.0000$

Comprovació barata: calcula un parell de termes amb la recurrència directament i compara'ls amb la fórmula. Si no coincideixen, l'error és al sistema de les constants.

Mètode 1 — iterar. Aplicant la recurrència $4$ vegades des de $a_0 = 1$ s'arriba a

$a_{4} = 31.0000$

Mètode 2 — fórmula tancada. La solució homogènia és $A\cdot2^{n}$. Com que $2\neq 1$, es pot provar una constant $C$ com a particular: $C = 2C + 1$ dona $C = -1$. Imposant la dada inicial es determina $A$.

El cas excepcional. Quan el coeficient val exactament $1$, la fórmula amb denominador $1-\alpha$ no serveix perquè el denominador s'anul·la. Aquest cas s'ha de tractar a part, no maquillar substituint a una fórmula invàlida.

Pas 1 — equació característica. Provant $a_n = \lambda^{n}$:

$\lambda^{2} - 3\lambda + 2 = 0$

amb arrels $\lambda_1 = 1$ i $\lambda_2 = 2$.

Pas 2 — solució general. $a_n = A\cdot1^{n} + B\cdot2^{n}$.

Pas 3 — dades inicials. De $a_0 = 1$ surt $A + B = 1$; de $a_1 = 3$ surt $A + 2B = 3$. Resolent, $A = -1$ i $B = 2$.

Pas 4 — avaluar.

$a_{4} = 31.0000$

Comprovació barata: calcula un parell de termes amb la recurrència directament i compara'ls amb la fórmula. Si no coincideixen, l'error és al sistema de les constants.

Mètode 1 — iterar. Aplicant la recurrència $6$ vegades des de $a_0 = 1$ s'arriba a

$a_{6} = 127.0000$

Mètode 2 — fórmula tancada. La solució homogènia és $A\cdot2^{n}$. Com que $2\neq 1$, es pot provar una constant $C$ com a particular: $C = 2C + 1$ dona $C = -1$. Imposant la dada inicial es determina $A$.

El cas excepcional. Quan el coeficient val exactament $1$, la fórmula amb denominador $1-\alpha$ no serveix perquè el denominador s'anul·la. Aquest cas s'ha de tractar a part, no maquillar substituint a una fórmula invàlida.

Pas 1 — equació característica. Provant $a_n = \lambda^{n}$:

$\lambda^{2} - 3\lambda + 2 = 0$

amb arrels $\lambda_1 = 1$ i $\lambda_2 = 2$.

Pas 2 — solució general. $a_n = A\cdot1^{n} + B\cdot2^{n}$.

Pas 3 — dades inicials. De $a_0 = 1$ surt $A + B = 1$; de $a_1 = 3$ surt $A + 2B = 3$. Resolent, $A = -1$ i $B = 2$.

Pas 4 — avaluar.

$a_{5} = 63.0000$

Comprovació barata: calcula un parell de termes amb la recurrència directament i compara'ls amb la fórmula. Si no coincideixen, l'error és al sistema de les constants.

Mètode 1 — iterar. Aplicant la recurrència $4$ vegades des de $a_0 = 2$ s'arriba a

$a_{4} = 47.0000$

Mètode 2 — fórmula tancada. La solució homogènia és $A\cdot2^{n}$. Com que $2\neq 1$, es pot provar una constant $C$ com a particular: $C = 2C + 1$ dona $C = -1$. Imposant la dada inicial es determina $A$.

El cas excepcional. Quan el coeficient val exactament $1$, la fórmula amb denominador $1-\alpha$ no serveix perquè el denominador s'anul·la. Aquest cas s'ha de tractar a part, no maquillar substituint a una fórmula invàlida.