Exercicis de recurrències

Pas 1 — equació característica. Provant $a_n = \lambda^{n}$:

$\lambda^{2} - 4\lambda + 3 = 0$

amb arrels $\lambda_1 = 3$ i $\lambda_2 = 1$.

Pas 2 — solució general. $a_n = A\cdot3^{n} + B\cdot1^{n}$.

Pas 3 — dades inicials. De $a_0 = 1$ surt $A + B = 1$; de $a_1 = 4$ surt $3A + B = 4$. Resolent, $A = 3/2$ i $B = -1/2$.

Pas 4 — avaluar.

$a_{5} = 364.0000$

Comprovació barata: calcula un parell de termes amb la recurrència directament i compara'ls amb la fórmula. Si no coincideixen, l'error és al sistema de les constants.

Mètode 1 — iterar. Aplicant la recurrència $4$ vegades des de $a_0 = 2$ s'arriba a

$a_{4} = 77.0000$

Mètode 2 — fórmula tancada. La solució homogènia és $A\cdot2^{n}$. Com que $2\neq 1$, es pot provar una constant $C$ com a particular: $C = 2C + 3$ dona $C = -3$. Imposant la dada inicial es determina $A$.

El cas excepcional. Quan el coeficient val exactament $1$, la fórmula amb denominador $1-\alpha$ no serveix perquè el denominador s'anul·la. Aquest cas s'ha de tractar a part, no maquillar substituint a una fórmula invàlida.

Pas 1 — equació característica. Provant $a_n = \lambda^{n}$:

$\lambda^{2} - 4\lambda + 3 = 0$

amb arrels $\lambda_1 = 3$ i $\lambda_2 = 1$.

Pas 2 — solució general. $a_n = A\cdot3^{n} + B\cdot1^{n}$.

Pas 3 — dades inicials. De $a_0 = 1$ surt $A + B = 1$; de $a_1 = 4$ surt $3A + B = 4$. Resolent, $A = 3/2$ i $B = -1/2$.

Pas 4 — avaluar.

$a_{6} = 1093.0000$

Comprovació barata: calcula un parell de termes amb la recurrència directament i compara'ls amb la fórmula. Si no coincideixen, l'error és al sistema de les constants.

Mètode 1 — iterar. Aplicant la recurrència $6$ vegades des de $a_0 = 2$ s'arriba a

$a_{6} = 317.0000$

Mètode 2 — fórmula tancada. La solució homogènia és $A\cdot2^{n}$. Com que $2\neq 1$, es pot provar una constant $C$ com a particular: $C = 2C + 3$ dona $C = -3$. Imposant la dada inicial es determina $A$.

El cas excepcional. Quan el coeficient val exactament $1$, la fórmula amb denominador $1-\alpha$ no serveix perquè el denominador s'anul·la. Aquest cas s'ha de tractar a part, no maquillar substituint a una fórmula invàlida.

Pas 1 — equació característica. Provant $a_n = \lambda^{n}$:

$\lambda^{2} + \lambda - 6 = 0$

amb arrels $\lambda_1 = 2$ i $\lambda_2 = -3$.

Pas 2 — solució general. $a_n = A\cdot2^{n} + B\cdot(-3)^{n}$.

Pas 3 — dades inicials. De $a_0 = 1$ surt $A + B = 1$; de $a_1 = 2$ surt $2A - 3B = 2$. Resolent, $A = 1$ i $B = 0$.

Pas 4 — avaluar.

$a_{4} = 16.0000$

Comprovació barata: calcula un parell de termes amb la recurrència directament i compara'ls amb la fórmula. Si no coincideixen, l'error és al sistema de les constants.

Mètode 1 — iterar. Aplicant la recurrència $4$ vegades des de $a_0 = 0$ s'arriba a

$a_{4} = 75.0000$

Mètode 2 — fórmula tancada. La solució homogènia és $A\cdot2^{n}$. Com que $2\neq 1$, es pot provar una constant $C$ com a particular: $C = 2C + 5$ dona $C = -5$. Imposant la dada inicial es determina $A$.

El cas excepcional. Quan el coeficient val exactament $1$, la fórmula amb denominador $1-\alpha$ no serveix perquè el denominador s'anul·la. Aquest cas s'ha de tractar a part, no maquillar substituint a una fórmula invàlida.

Pas 1 — equació característica. Provant $a_n = \lambda^{n}$:

$\lambda^{2} + \lambda - 6 = 0$

amb arrels $\lambda_1 = 2$ i $\lambda_2 = -3$.

Pas 2 — solució general. $a_n = A\cdot2^{n} + B\cdot(-3)^{n}$.

Pas 3 — dades inicials. De $a_0 = 1$ surt $A + B = 1$; de $a_1 = 2$ surt $2A - 3B = 2$. Resolent, $A = 1$ i $B = 0$.

Pas 4 — avaluar.

$a_{5} = 32.0000$

Comprovació barata: calcula un parell de termes amb la recurrència directament i compara'ls amb la fórmula. Si no coincideixen, l'error és al sistema de les constants.

Mètode 1 — iterar. Aplicant la recurrència $6$ vegades des de $a_0 = 0$ s'arriba a

$a_{6} = 315.0000$

Mètode 2 — fórmula tancada. La solució homogènia és $A\cdot2^{n}$. Com que $2\neq 1$, es pot provar una constant $C$ com a particular: $C = 2C + 5$ dona $C = -5$. Imposant la dada inicial es determina $A$.

El cas excepcional. Quan el coeficient val exactament $1$, la fórmula amb denominador $1-\alpha$ no serveix perquè el denominador s'anul·la. Aquest cas s'ha de tractar a part, no maquillar substituint a una fórmula invàlida.

Pas 1 — equació característica. Provant $a_n = \lambda^{n}$:

$\lambda^{2} + \lambda - 6 = 0$

amb arrels $\lambda_1 = 2$ i $\lambda_2 = -3$.

Pas 2 — solució general. $a_n = A\cdot2^{n} + B\cdot(-3)^{n}$.

Pas 3 — dades inicials. De $a_0 = 1$ surt $A + B = 1$; de $a_1 = 2$ surt $2A - 3B = 2$. Resolent, $A = 1$ i $B = 0$.

Pas 4 — avaluar.

$a_{6} = 64.0000$

Comprovació barata: calcula un parell de termes amb la recurrència directament i compara'ls amb la fórmula. Si no coincideixen, l'error és al sistema de les constants.

Mètode 1 — iterar. Aplicant la recurrència $4$ vegades des de $a_0 = 1$ s'arriba a

$a_{4} = 91.0000$

Mètode 2 — fórmula tancada. La solució homogènia és $A\cdot2^{n}$. Com que $2\neq 1$, es pot provar una constant $C$ com a particular: $C = 2C + 5$ dona $C = -5$. Imposant la dada inicial es determina $A$.

El cas excepcional. Quan el coeficient val exactament $1$, la fórmula amb denominador $1-\alpha$ no serveix perquè el denominador s'anul·la. Aquest cas s'ha de tractar a part, no maquillar substituint a una fórmula invàlida.