Exercicis de recurrències

Pas 1 — equació característica. Provant $a_n = \lambda^{n}$:

$\lambda^{2} - 5\lambda + 4 = 0$

amb arrels $\lambda_1 = 4$ i $\lambda_2 = 1$.

Pas 2 — solució general. $a_n = A\cdot4^{n} + B\cdot1^{n}$.

Pas 3 — dades inicials. De $a_0 = 2$ surt $A + B = 2$; de $a_1 = 6$ surt $4A + B = 6$. Resolent, $A = 4/3$ i $B = 2/3$.

Pas 4 — avaluar.

$a_{4} = 342.0000$

Comprovació barata: calcula un parell de termes amb la recurrència directament i compara'ls amb la fórmula. Si no coincideixen, l'error és al sistema de les constants.

Mètode 1 — iterar. Aplicant la recurrència $6$ vegades des de $a_0 = 1$ s'arriba a

$a_{6} = 379.0000$

Mètode 2 — fórmula tancada. La solució homogènia és $A\cdot2^{n}$. Com que $2\neq 1$, es pot provar una constant $C$ com a particular: $C = 2C + 5$ dona $C = -5$. Imposant la dada inicial es determina $A$.

El cas excepcional. Quan el coeficient val exactament $1$, la fórmula amb denominador $1-\alpha$ no serveix perquè el denominador s'anul·la. Aquest cas s'ha de tractar a part, no maquillar substituint a una fórmula invàlida.

Pas 1 — equació característica. Provant $a_n = \lambda^{n}$:

$\lambda^{2} - 5\lambda + 4 = 0$

amb arrels $\lambda_1 = 4$ i $\lambda_2 = 1$.

Pas 2 — solució general. $a_n = A\cdot4^{n} + B\cdot1^{n}$.

Pas 3 — dades inicials. De $a_0 = 2$ surt $A + B = 2$; de $a_1 = 6$ surt $4A + B = 6$. Resolent, $A = 4/3$ i $B = 2/3$.

Pas 4 — avaluar.

$a_{5} = 1366.0000$

Comprovació barata: calcula un parell de termes amb la recurrència directament i compara'ls amb la fórmula. Si no coincideixen, l'error és al sistema de les constants.

Mètode 1 — iterar. Aplicant la recurrència $4$ vegades des de $a_0 = 2$ s'arriba a

$a_{4} = 107.0000$

Mètode 2 — fórmula tancada. La solució homogènia és $A\cdot2^{n}$. Com que $2\neq 1$, es pot provar una constant $C$ com a particular: $C = 2C + 5$ dona $C = -5$. Imposant la dada inicial es determina $A$.

El cas excepcional. Quan el coeficient val exactament $1$, la fórmula amb denominador $1-\alpha$ no serveix perquè el denominador s'anul·la. Aquest cas s'ha de tractar a part, no maquillar substituint a una fórmula invàlida.

Pas 1 — equació característica. Provant $a_n = \lambda^{n}$:

$\lambda^{2} - 5\lambda + 4 = 0$

amb arrels $\lambda_1 = 4$ i $\lambda_2 = 1$.

Pas 2 — solució general. $a_n = A\cdot4^{n} + B\cdot1^{n}$.

Pas 3 — dades inicials. De $a_0 = 2$ surt $A + B = 2$; de $a_1 = 6$ surt $4A + B = 6$. Resolent, $A = 4/3$ i $B = 2/3$.

Pas 4 — avaluar.

$a_{6} = 5462.0000$

Comprovació barata: calcula un parell de termes amb la recurrència directament i compara'ls amb la fórmula. Si no coincideixen, l'error és al sistema de les constants.

Mètode 1 — iterar. Aplicant la recurrència $6$ vegades des de $a_0 = 2$ s'arriba a

$a_{6} = 443.0000$

Mètode 2 — fórmula tancada. La solució homogènia és $A\cdot2^{n}$. Com que $2\neq 1$, es pot provar una constant $C$ com a particular: $C = 2C + 5$ dona $C = -5$. Imposant la dada inicial es determina $A$.

El cas excepcional. Quan el coeficient val exactament $1$, la fórmula amb denominador $1-\alpha$ no serveix perquè el denominador s'anul·la. Aquest cas s'ha de tractar a part, no maquillar substituint a una fórmula invàlida.

Pas 1 — equació característica. Provant $a_n = \lambda^{n}$:

$\lambda^{2} - 6\lambda + 5 = 0$

amb arrels $\lambda_1 = 1$ i $\lambda_2 = 5$.

Pas 2 — solució general. $a_n = A\cdot1^{n} + B\cdot5^{n}$.

Pas 3 — dades inicials. De $a_0 = 3$ surt $A + B = 3$; de $a_1 = 7$ surt $A + 5B = 7$. Resolent, $A = 2$ i $B = 1$.

Pas 4 — avaluar.

$a_{4} = 627.0000$

Comprovació barata: calcula un parell de termes amb la recurrència directament i compara'ls amb la fórmula. Si no coincideixen, l'error és al sistema de les constants.

Mètode 1 — iterar. Aplicant la recurrència $4$ vegades des de $a_0 = 0$ s'arriba a

$a_{4} = -30.0000$

Mètode 2 — fórmula tancada. La solució homogènia és $A\cdot2^{n}$. Com que $2\neq 1$, es pot provar una constant $C$ com a particular: $C = 2C - 2$ dona $C = 2$. Imposant la dada inicial es determina $A$.

El cas excepcional. Quan el coeficient val exactament $1$, la fórmula amb denominador $1-\alpha$ no serveix perquè el denominador s'anul·la. Aquest cas s'ha de tractar a part, no maquillar substituint a una fórmula invàlida.

Pas 1 — equació característica. Provant $a_n = \lambda^{n}$:

$\lambda^{2} - 6\lambda + 5 = 0$

amb arrels $\lambda_1 = 1$ i $\lambda_2 = 5$.

Pas 2 — solució general. $a_n = A\cdot1^{n} + B\cdot5^{n}$.

Pas 3 — dades inicials. De $a_0 = 3$ surt $A + B = 3$; de $a_1 = 7$ surt $A + 5B = 7$. Resolent, $A = 2$ i $B = 1$.

Pas 4 — avaluar.

$a_{5} = 3127.0000$

Comprovació barata: calcula un parell de termes amb la recurrència directament i compara'ls amb la fórmula. Si no coincideixen, l'error és al sistema de les constants.

Mètode 1 — iterar. Aplicant la recurrència $6$ vegades des de $a_0 = 0$ s'arriba a

$a_{6} = -126.0000$

Mètode 2 — fórmula tancada. La solució homogènia és $A\cdot2^{n}$. Com que $2\neq 1$, es pot provar una constant $C$ com a particular: $C = 2C - 2$ dona $C = 2$. Imposant la dada inicial es determina $A$.

El cas excepcional. Quan el coeficient val exactament $1$, la fórmula amb denominador $1-\alpha$ no serveix perquè el denominador s'anul·la. Aquest cas s'ha de tractar a part, no maquillar substituint a una fórmula invàlida.