Exercicis de límits i continuïtat

Pas 1 — provar de substituir. Amb $x = 1$, el numerador dona $0$ i el denominador també. Això és una indeterminació $\frac{0}{0}$: no és cap resultat, vol dir que has de treballar-ho més.

Pas 2 — factoritzar. El numerador es pot escriure com:

$x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1)(x - 2)$

Ha de sortir el factor $(x - 1)$, perquè és el que fa zero el denominador. Si no et surt, has factoritzat malament.

Pas 3 — simplificar el factor comú (es pot fer perquè $x$ s'acosta a $1$ però no hi és):

$\frac{(x - 1)(x - 2)}{x - 1} = x - 2$

Pas 4 — ara sí, substituir:

$\lim_{x \to 1} (x - 2) = 1 - 2 = -1$

Amb $x$ tendint a infinit, els termes petits (el $+1$ i el $+2$) deixen de comptar: davant d'un milió, sumar-hi 1 no canvia res. Només miram els graus.

• Grau del numerador: $1$
• Grau del denominador: $1$

Empaten en grau, així que el límit és el quocient dels coeficients principals:

$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Regla ràpida: si guanya el de dalt, infinit; si guanya el de baix, zero; si empaten, es divideixen els coeficients de davant.

Una funció a trossos només pot trencar-se al punt on canvia de fórmula, aquí $x = 1$. Perquè sigui contínua, els dos trossos han d'enganxar: han de valer el mateix.

Pel tros de l'esquerra, amb $x = 1$:

$2 + k$

Pel tros de la dreta, amb $x = 1$:

$1^2 + 1 = 2$

Els igualem i aïllem $k$:

$2 + k = 2 \quad\Longrightarrow\quad k = 2 - 2 = 0$

Comprovació: amb $k = 0$, els dos trossos valen $2$ a $x = 1$. Enganxen.

Una funció a trossos només es pot trencar al punt on canvia de fórmula. Perquè no es trenqui, els dos trossos han d'enganxar: els límits laterals han de coincidir.

Per l'esquerra: $1 + k$

Per la dreta: $1$

Igualant i aïllant:

$k = 0$

Amb aquest valor, i només amb aquest, la funció és contínua. Qualsevol altre deixa un salt al punt $1$.

Amb arrels i indeterminació $\frac{0}{0}$, el camí és multiplicar pel conjugat.

1 — Multipliquem dalt i baix per $\sqrt{x+1} + \sqrt{1}$. A dalt apareix una diferència de quadrats i les arrels desapareixen:

$(\sqrt{x+1} - \sqrt{1})(\sqrt{x+1} + \sqrt{1}) = (x+1) - 1 = x$

2 — Queda:

$\frac{x}{x\left(\sqrt{x+1} + \sqrt{1}\right)}$

3 — Simplifiquem la $x$ (es pot: $x$ tendeix a zero però no hi és) i substituïm:

$\frac{1}{1\left(\sqrt{1} + \sqrt{1}\right)} = \frac{1}{2\sqrt{1}} \approx 0.5000$

També es podria fer amb L'Hôpital, però el conjugat surt més net i no necessita derivar.

Compte amb aquesta: la base tendeix a $1$ i l'exponent a infinit, i un elevat a infinit no és un. És una indeterminació, i justament la que defineix el nombre $e$.

La fórmula que has de tenir memoritzada és:

$\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k$

Aquí $k = 1$, o sigui:

$\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e^{1} \approx 2.7183$

Si l'expressió no té exactament aquesta forma, el mètode general és prendre logaritmes: $L = e^{\lim\, (\text{exponent}) \cdot (\text{base} - 1)}$.

Pas 1 — provar de substituir. Amb $x = 1$, el numerador dona $0$ i el denominador també. Això és una indeterminació $\frac{0}{0}$: no és cap resultat, vol dir que has de treballar-ho més.

Pas 2 — factoritzar. El numerador es pot escriure com:

$x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1)(x - 3)$

Ha de sortir el factor $(x - 1)$, perquè és el que fa zero el denominador. Si no et surt, has factoritzat malament.

Pas 3 — simplificar el factor comú (es pot fer perquè $x$ s'acosta a $1$ però no hi és):

$\frac{(x - 1)(x - 3)}{x - 1} = x - 3$

Pas 4 — ara sí, substituir:

$\lim_{x \to 1} (x - 3) = 1 - 3 = -2$

Amb $x$ tendint a infinit, els termes petits (el $+1$ i el $+2$) deixen de comptar: davant d'un milió, sumar-hi 1 no canvia res. Només miram els graus.

• Grau del numerador: $1$
• Grau del denominador: $2$

El denominador creix més ràpid, per tant el quocient s'aixafa cap a zero.

Resultat: $0$.

Regla ràpida: si guanya el de dalt, infinit; si guanya el de baix, zero; si empaten, es divideixen els coeficients de davant.

Una funció a trossos només pot trencar-se al punt on canvia de fórmula, aquí $x = 1$. Perquè sigui contínua, els dos trossos han d'enganxar: han de valer el mateix.

Pel tros de l'esquerra, amb $x = 1$:

$2 + k$

Pel tros de la dreta, amb $x = 1$:

$1^2 + 5 = 6$

Els igualem i aïllem $k$:

$2 + k = 6 \quad\Longrightarrow\quad k = 6 - 2 = 4$

Comprovació: amb $k = 4$, els dos trossos valen $6$ a $x = 1$. Enganxen.

Perquè una funció a trossos sigui contínua en el punt d'empalmament, els dos límits laterals han de valer el mateix i ser finits.

Per l'esquerra: $\lim_{x \to 1^-} (x + k) = 1 + k$, que és un número, depengui de $k$ el que depengui.

Per la dreta: $\lim_{x \to 1^+} \dfrac{1}{x - 1} = +\infty$, perquè el denominador tendeix a zero.

Un número mai no serà igual a infinit, faci el que faci la $k$. La funció té una asímptota vertical a $x = 1$ i la discontinuïtat no és evitable.

La lliçó: abans de posar-te a resoldre l'equació dels límits, mira si els dos costats donen un número. Si un se'n va a infinit, ja has acabat.